로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!=== 등거리 사상 === 힐베르트 평면에서 거리를 구하는 방법과 측지선에 대해 이해했다면, 다음 단계는 당연히 힐베르트 평면에서의 [[등거리 사상]]을 아는 것이다. 우선 가장 대표적인 등거리 사상 몇 가지를 알아보자. #<math>f\left(z\right)=z+l,\,l\in\mathbb{R}</math>: 실수축 방향으로 이동하는 변환이다 (수평 이동). 힐베르트 평면에서 거리에 영향을 끼치는 것은 수직 이동이므로 수평 이동은 거리를 보존함을 쉽게 알 수 있다. #<math>f\left(z\right)=-\bar{z}</math>: 허수축에 대한 대칭 이동이다. 마찬가지로 수직적인 위치 변환은 이루어지지 않기 때문에 거리를 보존한다. #<math>f\left(z\right)=kz,\,k>0</math>: 원점을 지나는 (유클리드) 직선에 대한 팽창 변환(Dilation)이다. 앞의 2개와는 다르게 수직 이동을 동반하기 때문에 정말로 거리를 보존하는지는 쉽게 확인할 수 없다. #:수직선이 측지선임을 알고, 수직선의 길이는 쉽게 구할 수 있으므로 수직선을 예시로 이 변환이 등거리 사상인지 확인해보자.<br /><math>d\left(ai,bi\right)=\left|\ln\left(\frac{b}{a}\right)\right|=\left|\ln\left(\frac{kb}{ka}\right)\right|=d\left(kai,kbi\right)</math><br />따라서, 팽창 변환은 적어도 수직선의 길이를 보존한다는 확인할 수 있다. #<math>f\left(z\right)=\frac{1}{\bar{z}}</math>: 단위원에 대한 반전 변환(Inversion)이다. 반전이라는 개념이 생소할텐데, [[원 (도형)|원]]에 대한 대칭 이동이라고 생각하면 된다. 반전에 대해 더 자세한 것은 [[반전 기하학]] 참조. 위 등거리 사상의 특징은 전부 <math>\frac{az+b}{cz+d}</math>나 <math>\frac{a\bar{z}+b}{c\bar{z}+d}</math>의 형태로 표현된다는 것이다. 그런데 저 형태를 어디서 많이 보지 않았는가? 바로 LFT다. 이제 <math>\mathbb{RP}^1</math>에서 정의되었던 LFT를 <math>\mathbb{H}^2</math>로 확장해보자. ;정의 {{인용문2|힐베르트 평면에서의 선형 분수 변환(LFT)은 함수 <math>f:\mathbb{H}^2\to\mathbb{H}^2,\,f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d},\,a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{R},\,ad-bc>0</math>이다.}} 왜 저런 온갖 조건들이 붙었는지 의문이 들텐데, 저 조건이 있어야 LFT가 일대일 대응이 되기 때문이다. 이제 그 사실을 증명해보자. ;보조 정리 {{인용문2|<math>\Im\left(f\left(z\right)\right)=\frac{\Im\left(z\right)\left(ad-bc\right)}{\left|cz+d\right|^2}</math>}} {{숨기기|증명| <math>f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\left(az+b\right)\left(c\bar{z}+d\right)}{\left(cz+d\right)\left(c\bar{z}+d\right)}=\frac{acz\bar{z}+adz+bc\bar{z}+bd}{\left|cz+d\right|^2}</math><br />그런데 <math>acz\bar{z}+bd</math>는 실수이므로 <math>f\left(z\right)</math>의 허수부는 <math>adz+bc\bar{z}</math>에만 영향을 받는다. 따라서,<br /><math>\Im\left(f\left(z\right)\right)=\frac{\Im\left(z\right)\left(ad-bc\right)}{\left|cz+d\right|^2}</math>}} ;정리 {{인용문2|LFT는 <math>ad-bc>0</math>이면 일대일 대응 함수이다. 역으로, LFT가 일대일 대응 함수이면 <math>ad-bc>0</math>이다.}} {{숨기기|증명| 먼저 <math>ad-bc>0</math>이라 가정하자. 그럼 보조 정리에 의해, <math>\Im\left(z\right)>0</math>이면 <math>\Im\left(f\left(z\right)\right)>0</math>이기 때문에 <math>f:\mathbb{H}^2\to\mathbb{H}^2</math>이다.<br />이제, <math>f\left(z\right)=f\left(w\right)</math>이라 가정하자 (<math>z,\,w\in\mathbb{H}^2</math>). 양변을 전개하여 잘 정리하면 <math>z=w</math>라는 사실을 쉽게 알 수 있고, 이는 <math>f</math>가 일대일 함수라는 사실을 의미한다.<br />이제, 임의의 <math>w\in\mathbb{H}^2</math>를 고르자. 그리고 <math>f\left(z\right)=w</math>를 풀면 <math>z=\frac{wd-b}{a-cw}</math>가 나온다. 만약 <math>a=c=0</math>이면, <math>ad-bc>0</math>이라는 가정에 모순이다. 만약 <math>c=0</math>이라면, <math>cw=0</math>이고, <math>a\neq0</math>이므로 <math>a\neq cw</math>이다. 반대로, 만약 <math>a=0</math>이면, <math>c\neq0</math>이고, <math>cw\neq0</math>이므로 <math>a\neq cw</math>이다. 만약 <math>a\neq0,\,c\neq0</math>라면, <math>cw\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}</math>이고 <math>a\in\mathbb{R}</math>이므로 <math>a\neq cw</math>이다. 따라서, <math>z</math>는 잘 정의되었다. 또한, 보조 정리에 의해 <math>\Im\left(z\right)=\frac{\Im\left(w\right)\left(ad-bc\right)}{\left|a-cw\right|^2}>0</math>이므로, <math>z\in\mathbb{H}^2</math>이다. 따라서, <math>f</math>는 전사 함수이다.<br />역으로, <math>ad-bc\leq0</math>이라 가정하자. 그럼 <math>f:\mathbb{H}^2\not\to\mathbb{H}^2</math>임을 쉽게 알 수 있다. 이는 곧 <math>f</math>가 일대일 대응이 아니라는 사실을 의미한다.}} LFT에서 만약 <math>ad-bc<0</math>이면, 켤레 복소수를 취해 일대일 대응을 만들 수 있다. 그런데 켤레 복소수를 취하는 것 말고는 완전히 동일하므로 <math>ad-bc>0</math>으로 항상 가정하자. 한편, <math>f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{raz+rb}{rcz+rd}</math>이므로, <math>r=\frac{1}{\sqrt{ad-bc}}</math>을 취하면 <math>ad-bc=1</math>인 동일한 변환을 만들 수 있다. 이러한 변환을 '''뫼비우스 변환'''이라고 하는데, <math>ad-bc</math>의 값이 1이 아니어도 1로 금방 만들어 줄 수 있기 때문에 힐베르트 평면에서의 LFT는 전부 뫼비우스 변환이라 할 수 있다. 다르게 정의하면, <math>\mathbb{RP}^1</math>에서의 LFT를 <math>\mathbb{H}^2</math>로 확장한 것이 바로 뫼비우스 변환. 확장하는 방법은 다음과 같다. #<math>ad-bc>0</math>인 경우: <math>\frac{ax+b}{cx+d}\to\frac{az+b}{cz+d}</math> #<math>ad-bc<0</math>인 경우: <math>\frac{ax+b}{cx+d}\to\frac{a\bar{z}+b}{c\bar{z}+d}</math> #<math>ad-bc=0</math>인 경우는 상수 함수가 되기 때문에 고려하지 않는다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț