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'''실수'''(實數, real number)는 실수 집합의 원소를 말한다. 실수 집합 <math>\ | [[분류:수]] | ||
{{참조|실수|설명=원치 않게 나쁜 방향으로 일어나는 일은}} | |||
'''실수'''(實數, real number)는 실수 집합의 원소를 말한다. 실수 집합 <math>\Bbb R</math>은 아래의 세 공리(계)를 만족하는 집합이며, 그 존재성은 유리수 집합이 존재할 때 보일 수 있다. | |||
== 개요 == | == 개요 == | ||
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현대에는 실수 집합을 후술하는 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다. 실수 집합은 [[유리수]] 집합과는 ''완비성''<ref>주어진 집합의 임의의 부분집합이 위로 유계되어 있으면 그 집합에서 상한(최소상계)을, 아래로 유계되어 있으면 하한(최대하계)을 가질 때 주어진 집합이 완비성을 가진다고 한다.</ref>을 가진다는 점에서 다르다. 예를 들어, 다음의 집합을 상정해보자: | 현대에는 실수 집합을 후술하는 세 공리를 만족하는 집합으로 정의한다. 실수 집합은 [[유리수]] 집합과는 ''완비성''<ref>주어진 집합의 임의의 부분집합이 위로 유계되어 있으면 그 집합에서 상한(최소상계)을, 아래로 유계되어 있으면 하한(최대하계)을 가질 때 주어진 집합이 완비성을 가진다고 한다.</ref>을 가진다는 점에서 다르다. 예를 들어, 다음의 집합을 상정해보자: | ||
: <math>\left\{ \lfloor 10^{i}\sqrt{2} \rfloor 10^{-i}: \; i \in \ | : <math>\left\{ \lfloor 10^{i}\sqrt{2} \rfloor 10^{-i}: \; i \in \Bbb N \cup \{0\}\right\}=\{1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \cdots\}</math> | ||
이는 분명 유리수 집합의 위로 유계된 부분집합이지만, 이 집합의 상한 <math>\sqrt 2</math>은 유리수가 아니다. 즉, 유리수 집합은 완비성을 가지지 않는 것이다. | 이는 분명 유리수 집합의 위로 유계된 부분집합이지만, 이 집합의 상한 <math>\sqrt 2</math>은 유리수가 아니다. 즉, 유리수 집합은 완비성을 가지지 않는 것이다. | ||
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== 실수 집합의 존재성 == | == 실수 집합의 존재성 == | ||
{{ | {{참조|Wikipedia:Construction of the real numbers}} | ||
유리수에서 실수 집합을 생성하는 방법은 [[코시 수열]](Cauchy Sequence)를 이용하거나 [[데데킨트 절단]](Dedekind cut)을 이용한다. 사실 생성 방법은 다르나 두 가지 방법 모두 실수의 완비성(Completeness)을 유도할 수 있다. | 유리수에서 실수 집합을 생성하는 방법은 [[코시 수열]](Cauchy Sequence)를 이용하거나 [[데데킨트 절단]](Dedekind cut)을 이용한다. 사실 생성 방법은 다르나 두 가지 방법 모두 실수의 완비성(Completeness)을 유도할 수 있다. | ||
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<math> a \sim b (\in \mathcal{C}) \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 (\exists N \in \mathbb{N} \land (\forall n >N \rightarrow |a_n -b_n | < \epsilon)) </math> | <math> a \sim b (\in \mathcal{C}) \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 (\exists N \in \mathbb{N} \land (\forall n >N \rightarrow |a_n -b_n | < \epsilon)) </math> | ||
그러면 ~가 동치관계임을 보일 수 있고 (추가예정), 따라서 동치관계에서 나오는 코시 수열의 분할(Partition) <big>''C''/~</big>이 존재하게 된다. | 그러면 ~가 동치관계임을 보일 수 있고 (추가예정), 따라서 동치관계에서 나오는 코시 수열의 분할(Partition) <big>''C''/~</big>이 존재하게 된다. | ||
또한 수열의 합과 곱, 부등호를 아래와 같이 정의할 경우 코시 수열의 분할 <big>''C''/~</big>에 대해서도 합, 곱 그리고 부등호의 정의가 잘 정의되며, 게다가 선형 부등호를 가진 체(Linearly ordered field)가 만들어진다. 이것이 실수 체(Real Number System)이 된다. | 또한 수열의 합과 곱, 부등호를 아래와 같이 정의할 경우 코시 수열의 분할 <big>''C''/~</big>에 대해서도 합, 곱 그리고 부등호의 정의가 잘 정의되며, 게다가 선형 부등호를 가진 체(Linearly ordered field)가 만들어진다. 이것이 실수 체(Real Number System)이 된다. | ||
* 두 수열의 합 - n번째 항끼리 합한 새 수열을 두 수열의 합으로 정의한다 : <math> (x_n) + (y_n ) = (x_n +y_n)</math> | * 두 수열의 합 - n번째 항끼리 합한 새 수열을 두 수열의 합으로 정의한다 : <math> (x_n) + (y_n ) = (x_n +y_n)</math> | ||
* 두 수열의 곱 - n번째 항끼리 곱한 새 수열을 두 수열의 곱으로 정의한다 : <math> (x_n) \cdot (y_n ) = (x_n y_n)</math> | * 두 수열의 곱 - n번째 항끼리 곱한 새 수열을 두 수열의 곱으로 정의한다 : <math> (x_n) \cdot (y_n ) = (x_n y_n)</math> | ||
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