시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학/수열 편집하기

{{시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학}}

==수열==
[[수]] 들이 어떤 규칙에 따라 나열되어 있는 것을 말한다. 정말로 '''''수'''''들의 나'''''열'''''이라 수열일 뿐이다.
==들어가기 전에==
*항 : 수열의 각 원소를 ''항''이라고 한다. 수열의 ''n''번째 항을 <math>a _n</math>처럼 나타낸다.
**초항 : 특별히 수열의 가장 첫번째 항 <math>a _1</math>을 초항이라고 한다. 
*일반항 : ''n''번째 항을 ''n''에 대해서 나타낸 것. 
*:일반항을 알고 있다면 n에 숫자만 넣어서 얼마인지 바로 알 수 있다! <math>a_{n}=n</math>이라 하면, 이 수열은 1, 2, 3, 4, 5, 6, …가 된다. 
*점화식 : 여러 항들 사이의 관계식.
*:<math>a_{n+1}=a_{n}+1</math>같이 각 항들 사이의 관계를 나타내주는 식이다. 점화식과 초항을 알고 있다면 <math>a_{2}</math>를 구하고, <math>a_{2}</math>를 통해 <math>a_{3}</math>을 구하고, 이렇게 연쇄적으로 수열을 계속 구할 수 있다.<ref>가끔 이렇게 수열을 구하는 게 불을 붙인 게 번져나가는 것 같다 해서 점화(點火)식이라고 알고 있기도 하는데, 한자 자체가 점화식(漸化式)과는 다르다!</ref>
*수열 전체를 나타낼 때는 {}를 양쪽에 붙인다. <math>\left\{a_n \right\}</math> 이렇게.

==등차수열·등비수열==
=== 등차수열 ===
1, 3, 5, 7, 9, …처럼 계속 일정하게 증가하거나 감소하는 수열을 '''등차수열'''이라고 한다. 그리고 여기서 변화하는 만큼을 '''공차'''라고 한다.
즉, 이 수열은 초항이 1이고 공차가 2인 수열이다.

'''D'''ifference의 d를 따서, 공차는 주로 <math>d</math>로 쓴다. 

등차수열을 만드는 건 정말 간단하다! 앞의 항에 공차를 더하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 <math>a_{n+1}=a_{n}+d</math>이다. 

* 초항이 1이고 공차가 10인 수열 : 1, 11, 21, 31, 41, …
* 초항이 0이고 공차가 -2인 수열 : 0, -2, -4, -8, -10, …
* 초항이 3이고 공차가 0인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …<ref>이렇게 공차가 0이면 모든 항이 같은 수이기 때문에 상수수열이라고도 부른다.</ref>

초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 수열 <math>a_{n}</math>를 수식으로 나타내려면 어떻게 할까? 두번째 항은 초항+공차니까 <math>a_{2}=a+d</math>이다. 세번째 항은 <math>a_{2}+d</math>니까 <math>a_{3}=a+2d</math>이다. 규칙이 눈에 보인다!

따라서, 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 등차수열 <math>a_{n}</math>의 일반항은 <math>a_{n}=a+(n-1)d</math>이다.

=== 등차수열의 합===
우선 첫째항이 <math>a</math>, 공차가 <math>d</math>인 등차수열의 제 n항을 <math>R</math>이라고 하면, 첫째항부터 제 n항까지의 합 <math>S_{n}</math>은

<math>\qquad S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R</math> (1번식)

1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면,

<math>\qquad S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a</math> (2번식)

1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면

<math>\qquad 2S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}}=n(a+R)</math>

<math>\qquad \therefore S_{n}=\frac{n(a+R)}{2}</math> (3번식)

여기서 <math>R</math>은 제 <math>n</math>항이므로 <math>R=a+(n-1)d</math>를 위 3번식에 대입하면 <math>S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2}</math>

여담이지만 수학자 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. '''10살 때, 11초만에, 암산으로.'''<ref>암산이라거나 10초만이라는 이야기는 과장되었을 수도 있다. 하지만 정말로 빠른 시간안에 풀어냈다는 건 확실한 사실. 정확히 이 이야기를 알고 있다면 [[수정바람]].</ref>

1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것.

=== 등비수열 ===
1, 2, 4, 8, 16, …처럼 계속 일정한 수가 곱해지는 수열을 '''등비수열'''이라고 한다. 그리고 여기서 곱해지는 수를 '''공비'''라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공비가 2인 수열이다.

'''R'''atio의 r를 따서, 공비는 주로 <math>r</math>로 쓴다. 

등비수열을 만드는 건 정말 간단하다! <s>데자뷰</s> 앞의 항에 공비를 곱하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 <math>a_{n+1}=r a_{n}</math>이다. 

* 초항이 1이고 공비가 10인 수열 : 1, 10, 100, 1000, 10000, …
* 초항이 3이고 공비가 1인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …
* 초항이 1이고 공비가 -1인 수열 : 1, -1, 1, -1, 1, …<ref>홀수항은 모두 1이고 짝수항은 모두 -1이다. 이런 수열을 보고 '진동한다'라고 하기도 한다.</ref>

일반항도 등차수열과 비슷하다. 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 수열 <math>a_{n}</math>의 두번째 항은 <math>a_{2}=ar</math>이다. 세번째 항은 <math>a_{3}=ar^2</math>이다. 

초항이 <math>a</math>이고 공비가 <math>r</math>인 등비수열 <math>a_{n}</math>의 일반항은 <math>a_{n}=ar^{n-1}</math>이다.

=== 등비수열의 합 ===
초항이 <math>a</math>이고 공비가 <math>r</math>인 수열 <math>a_{n}</math>의 첫째항부터 제 n항까지의 합 <math>S_{n}</math>을 구하는데,

만약 <math>r=1</math>이면 <math>S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na</math>다.

<math>r\neq 1</math>라면,

<math>\qquad S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}</math> (1번식)

1번식의 양변에 <math>r</math>을 곱하면

<math>\qquad rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n}</math>(2번식)

이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺀다.

<math>\qquad (1-r)S_{n}=a-ar^n</math>

양변을 <math>(1-r)</math>로 나눠서 정리하면 <math>S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}</math>가 된다.


이를 표로 정리하면 다음과 같다.

{| class="wikitable" style="text-align: center;" 
! colspan="2" | 등비수열의 합
|-
| <math>r\neq 1</math>
| <math>S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}</math>
|-
| <math>r=1</math>
| <math>S_{n}=na</math>
|}
==계차수열==
1, 2, 4, 7, 11, 16, …인 수열이 있다고 하자. 이 수열은 위에서 봤던 등차수열도, 등비수열도 아니다. 대신 다음 항에 더해지는 수가 1, 2, 3, 4, 5, …가 된다. 수열 자체보다는 '''앞뒷항 사이의 차'''가 일정한 규칙이 있는 것이다!

이처럼 수열 <math>\left\{a_n \right\}</math>에서 <math>a _{n+1} - a _n</math>을 새로운 수열 <math>b _n</math>로 정의할 때, <math>\left\{b _n \right\}</math>을 <math>\left\{a_n \right\}</math>의 '''계차수열'''이라고 한다.

* <math>b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right)</math> (계차수열의 정의)
* <math>a _{n} = a _1 + \sum _{k=1} ^{n-1} b _k</math>
** 왜냐면, 계차수열의 정의에서 <math>a_{n+1} = a_n + b_n \left(n \ge 1 \right)</math>라고도 쓸 수 있다. 이걸 <math>a_{n}, a_{n-1}, …, a_2</math>에 대해서도 쭉 쓰고 양변끼리 더하면

<math>\left. \begin{matrix}
a_{n+1} &=& a_n + b_n \\
a_{n} &=& a_{n-1} + b_{n-1} \\
a_{n-1} &=& a_{n-2} + b_{n-2} \\
 & \vdots & \\
a_{3} &=& a_2 + b_2 \\
a_{2} &=& a_1 + b_1 \\
\end{matrix} \right\}
\to
\begin{matrix}
a_{n+1} &=& a_1 + b_n + b_{n-1} +b_{n-2} + \cdots + b_2 + b_1 \\
 &=& a_1 + \sum _{k=1} ^{n} b _k
\end{matrix}</math>

여기서 <math>a _{n}</math>를 구하기 위해서는 계차수열을 '''n-1'''항까지 더해야 하는 것에 주의하자!

==수학적 귀납법==
==점화식 수열==
이 항목을 단순히 달달 외울 필요는 없다. 점화식에 변형을 가해서 위의 등차수열, 등비수열, 계차수열로 바꾸는 방식이기 때문에, 이 방법을 체득하면 된다. {{ㅊ|누가 체득이 쉽데?}} {{ㅊ|괜찮아. 문제 100개쯤 풀면 되겠지.}}

여기에 있는 점화식들은 고등학교 과정에서 나올법한 정도만 있다. 더 자세히 알고 싶다면 [[점화식]]으로.
=== <math>a_{n+1}=a_{n}+f(n)</math> ===
계차수열의 일반형. 이 수열의 일반형은 <math>a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)</math>

=== <math>a_{n+1}=f(n)a_{n}</math> ===
# 계비수열
#* <math>\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(n)</math>, <math>\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{3}}{a_{2}}\cdot\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{n}}{a_{1}}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1)</math>, <math>a_{n}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1)\cdot a_{1}</math>
# 로그
#* <math>\log a_{n+1}=\log a_{n}+\log f(n)</math>
#* <math>b_{n}=\log a_{n}</math>라고 하면 <math>a_{n+1}=a_{n}+f(n)</math>꼴로 바뀐다.

=== <math>a_{n+1}=pa_{n}+q(p \ne 0)</math> ===
<math>\left( a_{n+1}-\alpha\right)=p\left( a_{n}-\alpha\right)</math>, <math>\alpha =\frac{q}{1-p}</math>

<math>b_{n}=a_{n}-\alpha</math>라고 하면 <math>\left\{ b_{n}\right\}</math>은 등비수열이 된다.

=== <math>ra_{n+1}+p a_{n}+q=0</math> ===
<math>\begin{cases}
 & r\neq 0,p+r\neq 0, a_n=\left ( a_1+\frac{q}{r} \right )^{n-1}+\frac{q\left ( \left ( -\frac{p}{r} \right )^{n}-1 \right )}{r+p} \\ 
 & r+p=0,r\neq0, a_n=a_1+\frac{q\left ( 1-n \right )}{r} \\ 
\end{cases}</math>

=== <math>p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=0(p, q, r \ne 0)</math> ===
# <math>p+q+r=0</math>
# <math>p+q+r \ne 0</math>

=== <math>\begin{cases} a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\ b_{n+1}=q a_{n}+p b_{n} \end{cases}</math> ===

=== <math>a_{n+1}=p a_{n}+f(n)</math> ===
=== <math>a_{n+1}=p\left(a_{n}\right)^q</math> ===
=== <math>a_{n+1}=\frac{r a_{n}}{p a_{n}+q}</math> ===
=== <math>a_{n+1}=\frac{r a_{n}+s}{p a_{n}+q}</math> ===
=== <math>p a_{n} a_{n+1}=q a_{n}-r a_{n+1}</math> ===
=== <math>(n+1) a_{n}=n a_{n+1}+p</math> ===
=== <math>p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=s</math> ===
=== <math>a_{n}+a_{n+1}=f(n)</math> ===
=== <math>a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}=f(n)</math> ===

==급수==
수열 <math>\left \{ a_{n} \right \}</math>의 첫째항부터 제<math>n</math>항까지의 합을 기호 <math>\sum </math>을 사용하여<br />
<math>a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>이라고 표현합니다.<br />
=== 급수의 성질 ===
두 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \}</math>에 대하여.<br />
<math>
\sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\
\left ( a_1+b_1 \right )+\left ( a_2+b_2 \right )+\left ( a_3+b_3 \right )+\cdots+\left ( a_n+b_n \right )=\\
\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\
=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k
</math><br />
또 상수 c에 대하여.<br />
<math>
\sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\
=c\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )\\
=c\sum_{k=1}^{n}a_k
</math>
=== 여러 가지 급수 ===
이하 내용은 [[거듭제곱의 합]] 문서를 참조하세요.
==== <math>\sum_{k=1}^{n}k</math> ====
<math>\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}</math><br />
이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다.
==== <math>\sum_{k=1}^{n}k^2</math> ====
항등식 <math>\left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1</math>의 <math>x</math>에<br />
<math>1,2,3,\cdots,n</math>을 차례로 대입해 봅시다.<br />
<math>
\begin{cases}
 & x=1,2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ 
 & x=2,3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ 
 & x=3,4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ 
 & \vdots\\
 & x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1
\end{cases}
</math><br />
싸그리 더하면.<br />
<math>
\require{cancel}
\begin{cases}
 & x=1,\bcancel{2^3}-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ 
 & x=2,\bcancel{3^3}\bcancel{-2^3}=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ 
 & x=3,\bcancel{4^3}\bcancel{-3^3}=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ 
 & \vdots\\
 & x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1
\end{cases}
</math><br />
<math>\left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1</math><br />
그런데 <math>\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n</math><br />
따라서.<br />
<math>\left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n</math><br />
<math>3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}</math>
입니다.

==수열의 극한==
수열의 원소가 ''n''이 커짐에 따라 ''특정한 값에 다가갈 때'', 이 수열은 ''수렴한다''고 한다.
수렴하지 않는 수열은 ''n''이 커짐에 따라 ''발산한다''고 한다.

항의 숫자가 무한히 커질 때, 수열의 값이 어떻게 되는가를 구하면 된다.

==무한급수==
<math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k</math>또는 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>라고 표기합니다.
=== 무한급수의 [[수렴(발산) 판정법]] ===
고등학교 교육과정에서 다루는 판정법만을 다룹니다. 자세한 내용은 [[수렴(발산) 판정법]]을 참고하기 바랍니다.
==== 발산 판정법 ====
수열이 발산하는지만을 판정할 수 있습니다. '''반드시 수렴한다고 판정하지는 못합니다.'''

<math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k=S</math>가 성립한다고 하면, <math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=S</math>도 성립하게 됩니다. 그러므로, <math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k-\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=\lim_{n \to \infty}a_n=0</math>이 됩니다. 즉, 무한급수가 수렴한다면, 수열은 0으로 수렴합니다. 이 명제의 대우명제 또한 참이 되므로, '''수열이 0으로 수렴하지 않는다면 무한급수의 합은 발산합니다.'''
==== 비교 판정법 ====
이미 수렴여부가 알려진 무한급수 <math>\sum_{k=1}^{\infty }b_k</math>를 이용해 수렴여부를 판별합니다.

<math>0\le a_{n}\le b_{n}</math>이고, <math>\sum_{k=1}^{\infty }b_k</math>이 수렴하면 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>도 수렴합니다. 또한, <math>0\le b_{n}\le a_{n}</math>이고, <math>\sum_{k=1}^{\infty }b_k</math>이 발산하면 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>도 발산합니다.
=== 여러 가지 수열의 무한급수 ===
==== 무한등비급수 ====
초항이 a이고 공비 r이 <math>\left | r \right |<1</math>인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.<br />
자,초항이 a이고 공비가 r<ref><math>\left | r \right |<1</math></ref>인 등비수열 <math>\left \{ a_n \right \}</math>의 합은 다음과 같습니다.<br />
<math>\huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}</math><br />
<math>\lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0</math><br />
따라서 <math>\huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r}</math>
===== 무한등비급수를 이용하여 [[0.99…=1]]임을 증명해 봅시다. =====
우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.<br />
고로 위 식에 대입합니다.<br />
<math>\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1</math>
어때요,[[참 쉽죠?]]
{{주석}}
{{리브레 시리즈}}
[[분류:수학]]
[[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]]