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'''D'''ifference의 d를 따서, 공차는 주로 <math>d</math>로 쓴다. 등차수열을 만드는 건 정말 간단하다! 앞의 항에 공차를 더하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 <math>a_{n+1}=a_{n}+d</math>이다. * 초항이 1이고 공차가 10인 수열 : 1, 11, 21, 31, 41, … * 초항이 0이고 공차가 -2인 수열 : 0, -2, -4, -8, -10, … * 초항이 3이고 공차가 0인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …<ref>이렇게 공차가 0이면 모든 항이 같은 수이기 때문에 상수수열이라고도 부른다.</ref> 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 수열 <math>a_{n}</math>를 수식으로 나타내려면 어떻게 할까? 두번째 항은 초항+공차니까 <math>a_{2}=a+d</math>이다. 세번째 항은 <math>a_{2}+d</math>니까 <math>a_{3}=a+2d</math>이다. 규칙이 눈에 보인다! 따라서, 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 등차수열 <math>a_{n}</math>의 일반항은 <math>a_{n}=a+(n-1)d</math>이다. === 등차수열의 합=== 우선 첫째항이 <math>a</math>, 공차가 <math>d</math>인 등차수열의 제 n항을 <math>R</math>이라고 하면, 첫째항부터 제 n항까지의 합 <math>S_{n}</math>은 <math>\qquad S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R</math> (1번식) 1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면, <math>\qquad S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a</math> (2번식) 1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면 <math>\qquad 2S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}}=n(a+R)</math> <math>\qquad \therefore S_{n}=\frac{n(a+R)}{2}</math> (3번식) 여기서 <math>R</math>은 제 <math>n</math>항이므로 <math>R=a+(n-1)d</math>를 위 3번식에 대입하면 <math>S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2}</math> 여담이지만 수학자 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. '''10살 때, 11초만에, 암산으로.'''<ref>암산이라거나 10초만이라는 이야기는 과장되었을 수도 있다. 하지만 정말로 빠른 시간안에 풀어냈다는 건 확실한 사실. 정확히 이 이야기를 알고 있다면 [[수정바람]].</ref> 1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것. === 등비수열 === 1, 2, 4, 8, 16, …처럼 계속 일정한 수가 곱해지는 수열을 '''등비수열'''이라고 한다. 그리고 여기서 곱해지는 수를 '''공비'''라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공비가 2인 수열이다. '''R'''atio의 r를 따서, 공비는 주로 <math>r</math>로 쓴다. 등비수열을 만드는 건 정말 간단하다! <s>데자뷰</s> 앞의 항에 공비를 곱하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 <math>a_{n+1}=r a_{n}</math>이다. * 초항이 1이고 공비가 10인 수열 : 1, 10, 100, 1000, 10000, … * 초항이 3이고 공비가 1인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, … * 초항이 1이고 공비가 -1인 수열 : 1, -1, 1, -1, 1, …<ref>홀수항은 모두 1이고 짝수항은 모두 -1이다. 이런 수열을 보고 '진동한다'라고 하기도 한다.</ref> 일반항도 등차수열과 비슷하다. 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 수열 <math>a_{n}</math>의 두번째 항은 <math>a_{2}=ar</math>이다. 세번째 항은 <math>a_{3}=ar^2</math>이다. 초항이 <math>a</math>이고 공비가 <math>r</math>인 등비수열 <math>a_{n}</math>의 일반항은 <math>a_{n}=ar^{n-1}</math>이다. === 등비수열의 합 === 초항이 <math>a</math>이고 공비가 <math>r</math>인 수열 <math>a_{n}</math>의 첫째항부터 제 n항까지의 합 <math>S_{n}</math>을 구하는데, 만약 <math>r=1</math>이면 <math>S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na</math>다. <math>r\neq 1</math>라면, <math>\qquad S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}</math> (1번식) 1번식의 양변에 <math>r</math>을 곱하면 <math>\qquad rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n}</math>(2번식) 이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺀다. <math>\qquad (1-r)S_{n}=a-ar^n</math> 양변을 <math>(1-r)</math>로 나눠서 정리하면 <math>S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}</math>가 된다. 이를 표로 정리하면 다음과 같다. {| class="wikitable" style="text-align: center;" ! colspan="2" | 등비수열의 합 |- | <math>r\neq 1</math> | <math>S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}</math> |- | <math>r=1</math> | <math>S_{n}=na</math> |} ==계차수열== 1, 2, 4, 7, 11, 16, …인 수열이 있다고 하자. 이 수열은 위에서 봤던 등차수열도, 등비수열도 아니다. 대신 다음 항에 더해지는 수가 1, 2, 3, 4, 5, …가 된다. 수열 자체보다는 '''앞뒷항 사이의 차'''가 일정한 규칙이 있는 것이다! 이처럼 수열 <math>\left\{a_n \right\}</math>에서 <math>a _{n+1} - a _n</math>을 새로운 수열 <math>b _n</math>로 정의할 때, <math>\left\{b _n \right\}</math>을 <math>\left\{a_n \right\}</math>의 '''계차수열'''이라고 한다. * <math>b _n = a _{n+1} - a _n \left( n \ge 1 \right)</math> (계차수열의 정의) * <math>a _{n} = a _1 + \sum _{k=1} ^{n-1} b _k</math> ** 왜냐면, 계차수열의 정의에서 <math>a_{n+1} = a_n + b_n \left(n \ge 1 \right)</math>라고도 쓸 수 있다. 이걸 <math>a_{n}, a_{n-1}, …, a_2</math>에 대해서도 쭉 쓰고 양변끼리 더하면 <math>\left. \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_n + b_n \\ a_{n} &=& a_{n-1} + b_{n-1} \\ a_{n-1} &=& a_{n-2} + b_{n-2} \\ & \vdots & \\ a_{3} &=& a_2 + b_2 \\ a_{2} &=& a_1 + b_1 \\ \end{matrix} \right\} \to \begin{matrix} a_{n+1} &=& a_1 + b_n + b_{n-1} +b_{n-2} + \cdots + b_2 + b_1 \\ &=& a_1 + \sum _{k=1} ^{n} b _k \end{matrix}</math> 여기서 <math>a _{n}</math>를 구하기 위해서는 계차수열을 '''n-1'''항까지 더해야 하는 것에 주의하자! ==수학적 귀납법== ==점화식 수열== 이 항목을 단순히 달달 외울 필요는 없다. 점화식에 변형을 가해서 위의 등차수열, 등비수열, 계차수열로 바꾸는 방식이기 때문에, 이 방법을 체득하면 된다. {{ㅊ|누가 체득이 쉽데?}} {{ㅊ|괜찮아. 문제 100개쯤 풀면 되겠지.}} 여기에 있는 점화식들은 고등학교 과정에서 나올법한 정도만 있다. 더 자세히 알고 싶다면 [[점화식]]으로. === <math>a_{n+1}=a_{n}+f(n)</math> === 계차수열의 일반형. 이 수열의 일반형은 <math>a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)</math> === <math>a_{n+1}=f(n)a_{n}</math> === # 계비수열 #* <math>\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=f(n)</math>, <math>\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdots\frac{a_{3}}{a_{2}}\cdot\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{n}}{a_{1}}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1)</math>, <math>a_{n}=f(n-1)\cdot f(n-2)\cdots f(2)\cdot f(1)\cdot a_{1}</math> # 로그 #* <math>\log a_{n+1}=\log a_{n}+\log f(n)</math> #* <math>b_{n}=\log a_{n}</math>라고 하면 <math>a_{n+1}=a_{n}+f(n)</math>꼴로 바뀐다. === <math>a_{n+1}=pa_{n}+q(p \ne 0)</math> === <math>\left( a_{n+1}-\alpha\right)=p\left( a_{n}-\alpha\right)</math>, <math>\alpha =\frac{q}{1-p}</math> <math>b_{n}=a_{n}-\alpha</math>라고 하면 <math>\left\{ b_{n}\right\}</math>은 등비수열이 된다. === <math>p a_{n+1}+q a_{n}+r=0(p, q\ne 0)</math> === <math>a_{n+1}=-\frac{q}{p} a_{n}-\frac{r}{p}</math> 이렇게 하면, <math>a_{n+1}=p a_{n}+q=0(p\ne 0)</math>꼴이 된다. === <math>p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=0(p, q, r \ne 0)</math> === # <math>p+q+r=0</math> # <math>p+q+r \ne 0</math> === <math>\begin{cases} a_{n+1}=p a_{n}+q b_{n} \\ b_{n+1}=q a_{n}+p b_{n} \end{cases}</math> === === <math>a_{n+1}=p a_{n}+f(n)</math> === === <math>a_{n+1}=p\left(a_{n}\right)^q</math> === === <math>a_{n+1}=\frac{r a_{n}}{p a_{n}+q}</math> === === <math>a_{n+1}=\frac{r a_{n}+s}{p a_{n}+q}</math> === === <math>p a_{n} a_{n+1}=q a_{n}-r a_{n+1}</math> === === <math>(n+1) a_{n}=n a_{n+1}+p</math> === === <math>p a_{n+2}+q a_{n+1}+r a_{n}=s</math> === === <math>a_{n}+a_{n+1}=f(n)</math> === === <math>a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}=f(n)</math> === ==급수== 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \}</math>의 첫째항부터 제<math>n</math>항까지의 합을 기호 <math>\sum </math>을 사용하여<br /> <math>a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}</math>이라고 표현합니다.<br /> === 급수의 성질 === 두 수열 <math>\left \{ a_{n} \right \},\left \{ b_{n} \right \}</math>에 대하여.<br /> <math> \sum_{k=1}^{n}\left ( a_{k}+b_{k} \right )=\\ \left ( a_1+b_1 \right )+\left ( a_2+b_2 \right )+\left ( a_3+b_3 \right )+\cdots+\left ( a_n+b_n \right )=\\ \left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )+\left ( b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n \right )=\\ =\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k </math><br /> 또 상수 c에 대하여.<br /> <math> \sum_{k=1}^{n}ca_k=ca_1+ca_2+ca_3+\cdots+ca_n\\ =c\left ( a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )\\ =c\sum_{k=1}^{n}a_k </math> === 여러 가지 급수 === 이하 내용은 [[거듭제곱의 합]] 문서를 참조하세요. ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k</math> ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}</math><br /> 이건 위 공식에서 그냥 첫째항과 공차에 각각 1 대입하면 나옵니다. ==== <math>\sum_{k=1}^{n}k^2</math> ==== 항등식 <math>\left ( x+1 \right )^{3}-{x}^{3}=3{x}^{2}+3x+1</math>의 <math>x</math>에<br /> <math>1,2,3,\cdots,n</math>을 차례로 대입해 봅시다.<br /> <math> \begin{cases} & x=1,2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,4^3-3^3=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3-n^3=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} </math><br /> 싸그리 더하면.<br /> <math> \require{cancel} \begin{cases} & x=1,\bcancel{2^3}-1^3=3\times 1^2+3\times 1+1\\ & x=2,\bcancel{3^3}\bcancel{-2^3}=3\times 2^2+3\times 2+1 \\ & x=3,\bcancel{4^3}\bcancel{-3^3}=3\times 3^2+3\times 3+1 \\ & \vdots\\ & x=n,\left ( n+1 \right )^3\bcancel{-n^3}=3\times n^2+3\times n+1 \end{cases} </math><br /> <math>\left ( n+1 \right )^{3}-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}+3\sum_{k=1}^{n}1</math><br /> 그런데 <math>\sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2},\sum_{k=1}^{n}1=n</math><br /> 따라서.<br /> <math>\left ( n+1 \right )^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\times \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}+n</math><br /> <math>3\sum_{k=1}^{n}k^2=\left ( n+1 \right )^3-\frac{3n\left ( n+1 \right )}{2}-\left ( n+1 \right )=\frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6}</math> 입니다. ==수열의 극한== 수열의 원소가 ''n''이 커짐에 따라 ''특정한 값에 다가갈 때'', 이 수열은 ''수렴한다''고 한다. 수렴하지 않는 수열은 ''n''이 커짐에 따라 ''발산한다''고 한다. 항의 숫자가 무한히 커질 때, 수열의 값이 어떻게 되는가를 구하면 된다. ==무한급수== <math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k</math>또는 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>라고 표기합니다. === 무한급수의 [[수렴(발산) 판정법]] === 고등학교 교육과정에서 다루는 판정법만을 다룹니다. 자세한 내용은 [[수렴(발산) 판정법]]을 참고하기 바랍니다. ==== 발산 판정법 ==== 수열이 발산하는지만을 판정할 수 있습니다. '''반드시 수렴한다고 판정하지는 못합니다.''' <math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k=S</math>가 성립한다고 하면, <math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=S</math>도 성립하게 됩니다. 그러므로, <math>\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}a_k-\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n-1}a_k=\lim_{n \to \infty}a_n=0</math>이 됩니다. 즉, 무한급수가 수렴한다면, 수열은 0으로 수렴합니다. 이 명제의 대우명제 또한 참이 되므로, '''수열이 0으로 수렴하지 않는다면 무한급수의 합은 발산합니다.''' ==== 비교 판정법 ==== 이미 수렴여부가 알려진 무한급수 <math>\sum_{k=1}^{\infty }b_k</math>를 이용해 수렴여부를 판별합니다. <math>0\le a_{n}\le b_{n}</math>이고, <math>\sum_{k=1}^{\infty }b_k</math>이 수렴하면 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>도 수렴합니다. 또한, <math>0\le b_{n}\le a_{n}</math>이고, <math>\sum_{k=1}^{\infty }b_k</math>이 발산하면 <math>\sum_{k=1}^{\infty }a_k</math>도 발산합니다. === 여러 가지 수열의 무한급수 === ==== 무한등비급수 ==== 초항이 a이고 공비 r이 <math>\left | r \right |<1</math>인 등비수열의 무한급수를 구해 봅시다.<br /> 자,초항이 a이고 공비가 r<ref><math>\left | r \right |<1</math></ref>인 등비수열 <math>\left \{ a_n \right \}</math>의 합은 다음과 같습니다.<br /> <math>\huge \frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}</math><br /> <math>\lim_{n \to \infty }{r}^{n}=0</math><br /> 따라서 <math>\huge \lim_{n \to \infty }\frac{a\left ( 1-{r}^{n} \right )}{1-r}=\frac{a}{1-r}</math> ===== 무한등비급수를 이용하여 [[0.99…=1]]임을 증명해 봅시다. ===== 우선 0.99...는 초항이 0.9이고 공비가 0.1인 무한등비급수라고 할 수 있습니다.<br /> 고로 위 식에 대입합니다.<br /> <math>\frac{0.9}{1-0.1}=\frac{9}{10-1}=\frac{9}{9}=1</math> 어때요,[[참 쉽죠?]] {{주석}} {{리브레 시리즈}} [[분류:수학]] [[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:고지 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/중첩 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:리브레 시리즈 (편집) 틀:쉽게 알 수 있다 시리즈 (편집) 틀:주석 (편집) 틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)시리즈:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학 (편집)