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'''D'''ifference의 d를 따서, 공차는 주로 <math>d</math>로 쓴다. 등차수열을 만드는 건 정말 간단하다! 앞의 항에 공차를 더하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 <math>a_{n+1}=a_{n}+d</math>이다. * 초항이 1이고 공차가 10인 수열 : 1, 11, 21, 31, 41, … * 초항이 0이고 공차가 -2인 수열 : 0, -2, -4, -8, -10, … * 초항이 3이고 공차가 0인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, …<ref>이렇게 공차가 0이면 모든 항이 같은 수이기 때문에 상수수열이라고도 부른다.</ref> 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 수열 <math>a_{n}</math>를 수식으로 나타내려면 어떻게 할까? 두번째 항은 초항+공차니까 <math>a_{2}=a+d</math>이다. 세번째 항은 <math>a_{2}+d</math>니까 <math>a_{3}=a+2d</math>이다. 규칙이 눈에 보인다! 따라서, 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 등차수열 <math>a_{n}</math>의 일반항은 <math>a_{n}=a+(n-1)d</math>이다. === 등차수열의 합=== 우선 첫째항이 <math>a</math>, 공차가 <math>d</math>인 등차수열의 제 n항을 <math>R</math>이라고 하면, 첫째항부터 제 n항까지의 합 <math>S_{n}</math>은 <math>\qquad S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+(R-2d)+(R-d)+R</math> (1번식) 1번식에서 우변의 항을 역순으로 놓으면, <math>\qquad S_{n}=R+(R-d)+(R-2d)+\cdots+(a+2d)+(a+d)+a</math> (2번식) 1번식과 2번식을 같은 변끼리 더하면 <math>\qquad 2S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{(a+R)+(a+R)+(a+R)+\cdots+(a+R)+(a+R)}}=n(a+R)</math> <math>\qquad \therefore S_{n}=\frac{n(a+R)}{2}</math> (3번식) 여기서 <math>R</math>은 제 <math>n</math>항이므로 <math>R=a+(n-1)d</math>를 위 3번식에 대입하면 <math>S_{n}=\frac{n\left \{ 2a+\left ( n-1 \right )d \right \}}{2}</math> 여담이지만 수학자 [[카를 프리드리히 가우스|가우스]]가 이 방법으로 1부터 100까지의 합을 구했다고 한다. '''10살 때, 11초만에, 암산으로.'''<ref>암산이라거나 10초만이라는 이야기는 과장되었을 수도 있다. 하지만 정말로 빠른 시간안에 풀어냈다는 건 확실한 사실. 정확히 이 이야기를 알고 있다면 [[수정바람]].</ref> 1부터 100까지의 합은 1, 2, 3, …인 수열의 100번째까지의 합이니까 초항이 1이고 100번째 항이 100이므로 100×(1+100)/2=5050이 나온다. 숫자 계산 자체는 그렇게 어려운 것도 아니다. 10살이란 나이에 저 '뒤집어서 더한다' 라는 발상을 해낸 게 대단한 것. === 등비수열 === 1, 2, 4, 8, 16, …처럼 계속 일정한 수가 곱해지는 수열을 '''등비수열'''이라고 한다. 그리고 여기서 곱해지는 수를 '''공비'''라고 한다. 즉, 이 수열은 초항이 1이고 공비가 2인 수열이다. '''R'''atio의 r를 따서, 공비는 주로 <math>r</math>로 쓴다. 등비수열을 만드는 건 정말 간단하다! <s>데자뷰</s> 앞의 항에 공비를 곱하면 그냥 다음 항이 된다. 이걸 점화식으로 쓰면 <math>a_{n+1}=r a_{n}</math>이다. * 초항이 1이고 공비가 10인 수열 : 1, 10, 100, 1000, 10000, … * 초항이 3이고 공비가 1인 수열 : 3, 3, 3, 3, 3, … * 초항이 1이고 공비가 -1인 수열 : 1, -1, 1, -1, 1, …<ref>홀수항은 모두 1이고 짝수항은 모두 -1이다. 이런 수열을 보고 '진동한다'라고 하기도 한다.</ref> 일반항도 등차수열과 비슷하다. 초항이 <math>a</math>이고 공차가 <math>d</math>인 수열 <math>a_{n}</math>의 두번째 항은 <math>a_{2}=ar</math>이다. 세번째 항은 <math>a_{3}=ar^2</math>이다. 초항이 <math>a</math>이고 공비가 <math>r</math>인 등비수열 <math>a_{n}</math>의 일반항은 <math>a_{n}=ar^{n-1}</math>이다. === 등비수열의 합 === 초항이 <math>a</math>이고 공비가 <math>r</math>인 수열 <math>a_{n}</math>의 첫째항부터 제 n항까지의 합 <math>S_{n}</math>을 구하는데, 만약 <math>r=1</math>이면 <math>S_{n}=\underset{n개}{\underbrace{a+a+a+\cdots+a}}=na</math>다. <math>r\neq 1</math>라면, <math>\qquad S_{n}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}</math> (1번식) 1번식의 양변에 <math>r</math>을 곱하면 <math>\qquad rS_{n}=ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n}</math>(2번식) 이제 1번식에서 2번식을 변끼리 뺀다. <math>\qquad (1-r)S_{n}=a-ar^n</math> 양변을 <math>(1-r)</math>로 나눠서 정리하면 <math>S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}=\frac{a\left ( r^{n}-1 \right )}{r-1}</math>가 된다. 이를 표로 정리하면 다음과 같다. {| class="wikitable" style="text-align: center;" ! colspan="2" | 등비수열의 합 |- | <math>r\neq 1</math> | <math>S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}</math> |- | <math>r=1</math> | <math>S_{n}=na</math> |} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț