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: <math>\langle a \rangle=\{\dots, a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\dots,\}</math> | : <math>\langle a \rangle=\{\dots, a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\dots,\}</math> | ||
은 ''G''의 [[부분군]]이다. <math>\langle a\rangle</math>를 '''''a''에 의해 생성된 순환군(cyclic group generated by ''a'')'''이라고 한다. 만약 <math>G=\langle a\rangle</math>이면 ''G''를 '''순환군(cyclic group)'''이라고 한다. | 은 ''G''의 [[부분군]]이다. <math>\langle a\rangle</math>를 '''''a''에 의해 생성된 순환군(cyclic group generated by ''a'')'''이라고 한다. 만약 <math>G=\langle a\rangle</math>이면 ''G''를 '''순환군(cyclic group)'''이라고 한다. | ||
2020년 9월 20일 (일) 15:45 기준 최신판
정의[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \langle a \rangle=\{\dots, a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\dots,\} }[/math]
은 G의 부분군이다. [math]\displaystyle{ \langle a\rangle }[/math]를 a에 의해 생성된 순환군(cyclic group generated by a)이라고 한다. 만약 [math]\displaystyle{ G=\langle a\rangle }[/math]이면 G를 순환군(cyclic group)이라고 한다.
예시[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math]는 순환군이다.
- [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +) }[/math]
성질[편집 | 원본 편집]
- 순환군의 부분군은 순환군이다.
- [math]\displaystyle{ \langle a \rangle = \langle a^{-1} \rangle }[/math]이다.
- a가 무한 계수(infinite order)를 가지면 [math]\displaystyle{ \langle a \rangle }[/math]는 무한부분군이고 유한 계수(finite order) n을 가지면 [math]\displaystyle{ \langle a \rangle }[/math]의 계수는 n이다.
- 만약 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 유한 계수 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 가지면, [math]\displaystyle{ a^m }[/math]의 유한 계수는 [math]\displaystyle{ n/(n,m) }[/math]이다. [1]
- 모든 순환군은 위의 두 예시 중 하나와 군 동형사상을 이룬다. 자세히 말해, G가 무한부분군이면 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math]와 동형이고, G의 계수가 n이면 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+) }[/math]와 동형이다.