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<math>_nP_n=n!/\left(n-n\right)!=n!/0!</math>이 되고, 답과 대응시키기 위해서는 <math>0!=1</math>라 정의되어야 한다. 이에 대한 자세한 내용은 [[팩토리얼]] 참조. 다른 하나는 <math>_nP_0</math>. 역시 상식적으로 생각했을 때, n개중에 0개를 고르는 방법은 딱 한가지 뿐이지만, 수식으로 나타낼 수는 없다 (n부터 시작해서 하나씩 작은수를 '''0'''개 곱한다는 것이 상상이 되는가?). 따라서 <math>_nP_0=1</math>로 정의한다. == 중복순열 == 순열과 마찬가지로 n개 중에 r개를 순서에 상관있이 뽑는데, '''중복을 허락하여'''뽑는 것을 말한다. 역시 거창한 설명이지만 초등학교 때부터 써온 수학적 개념. 계산하는 방법 역시 초등학교에서 해왔던 방법과 동일하다. 지수를 사용해 [[경우의 수]]를 나타내면 <math>n^r</math>이 된다.<ref>교과서에서는 <math>_n\Pi_r</math>이라는 표현을 쓰는데, 이는 한국에서만 쓰이는 출처 불명의 기호이다. 세계적으로는 그냥 <math>n^r</math>라 나타낸다.</ref> == 같은 것이 있는 경우의 순열 == n개 중에 r개를 중복없이 순서에 맞게 뽑는데, n개 중에 똑같은 것이 몇개 섞여있을 경우를 말한다. 예를들어 세 개의 문자 <math>a, a, b</math>를 일렬로 늘어놓는 순열의 수를 찾아보자. 직접 찾아보면 <math>aab, aba, baa</math>의 3가지 경우 밖에 없다. 여기서 좀더 관찰 해보면 3개를 일렬로 늘어놓는 순열의 수는 <math>_3P_3=3!=6</math>, 중복되는 문자는 2개이고, <math>3=6/2</math>이다. 곧, 같은 것이 있을 때는 전체 순열의 수에서 무언가를 나눠주면 된다는 것을 확인할 수가 있다. 그리고 그 무언가는 중복되는 문자를 나열하는 방법의 수, 즉 이 예시에서는 2!이 된다. 중복되는 것이 다른 종류로 여러 가지 있을 때도 같은 논리가 성립하며, 이를 수식으로 나타내면 아래와 같다. {{인용문2|<math>a, a, a, \cdots, a, b, b, b, \cdots, b, c, d</math>(a가 p개, b가 q개, 전체 n개)의 순열의 수 <math>=\frac{n!}{p!\times q!}</math>}} == 원순열 == n개를 나열하는데, 원형으로 나열하는 경우의 수를 말한다. 예를들어 a, b, c, d를 원형으로 나열하는 가짓 수를 찾는다 하자. 얼핏 생각하면 <math>4!=24</math>이라 말하기 쉽지만 처음 놓는 문자의 위치는 어디든지 다 '''똑같다'''. 원을 돌려버리면 그만이기 때문. 하지만 두번째 이후로 놓는 문자부터는 위치에 관계 있으며, 결국 구하고자 하는 답은 <math>\left(4-1\right)!=6</math>이 된다. 이를 일반적으로 나타내면 아래와 같다. {{인용문2|<math>n</math>개의 물체를 원형으로 나열하는 수 <math>=\left(n-1\right)!</math>}} == 뒤집어 놓을 수 있는 원순열의 수 == 염주순열, 혹은 목걸이순열이라고도 불린다.<ref>고등학교 교육과정 밖이다.</ref> n개를 나열하는데, 회전할 수도 있고(원), 정면과 후면에서 바라 볼 수도 있을 때의(마치 목걸이를 뒤집듯이) 경우의 수를 말한다. 좌우 대칭을 했을 때 겹칠 수 있다면 한가지로 취급하므로 일반적인 경우의 수는 <math>\frac{\left(n-1\right)!}{2}</math>이다. == 예시 == 순열 {{인용문2|10명중 3명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수: <math>_{10}P_3=10!/\left(10-3\right)!=10!/7!=720</math>}} 중복순열 {{인용문2|네 개의 숫자 0, 1, 2, 3을 써서 (중복 허락) 세 자리 자연수를 만드는 가짓수: 첫 자리에 올 수 있는 가짓수 {{=}} 3, 나머지 자리에 올 수 있는 가짓수 <math>=4^2</math>. 곱의 법칙에 의해 <math>3\times4^2=48</math>.}} 같은 것이 있는 경우의 순열 {{인용문2|wiki의 네 문자를 일렬로 나열할 때의 가짓수: <math>\frac{4!}{2!}=12</math>}} 원순열 {{인용문2|서로 다른 5개의 구슬을 원형으로 나열하는 가짓수: <math>\left(5-1\right)!=4!=24</math>}} 목걸이 순열 {{인용문2|서로 다른 5개의 구슬로 목걸이를 만드는 방법의 가짓수: <math>\frac{1}{2}\left(5-1\right)!=12</math>}} == 군론에서 == 고등학교의 순열을 생각하고 추상대수학의 순열을 쉬울거라 생각하면 상당히 곤란하다. 군론에서의 순열은 고등학교에서 배운 것과 달리 상당히 추상적이기 때문. 먼저 순열의 정의부터 다시 하고 넘어가자. :집합 <math>X</math>에 대해, '''리스트(list)'''를 [[함수 (수학)|함수]] <math>f:\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}\to X</math>로 정의한다. 만약 <math>f</math>가 [[일대일 대응]]이라면, 우리는 이 함수를 '''재배열(arrangement)'''이라 부른다. 중요한 것은, <math>X</math>가 무한집합일 수도 있다는 것이다. 함수가 들어가서 이해가 어려울 수도 있지만, 사실 이 리스트는 여러개의 물건(= 집합의 원소)를 순서대로(1부터 n까지) 막 나열한 것에 불과하다. 이래도 이해가 안 된다면 직접 아무 집합에 대해 리스트를 만들어 보면 이해가 될 것이다. 이제 순열을 다음과 같이 정의한다. :집합 <math>X</math>에 대해, 일대일 대응 함수 <math>\alpha:X\to X</math>를 '''순열(permutation)'''이라 정의한다. 중요한 것은 <math>X</math>가 무한집합일 수도 있다는 것이다. 역시 함수가 들어가 있지만, 뜯어보면 집합의 원소를 중복 없이 나열한 것에 불과하다. 만약 여기에 순서를 부여하고 싶다면, 재배열 함수 <math>\varphi</math>와 <math>f</math>에 대해 <math>f\circ\varphi^{-1}</math>을 계산해주면 된다. 반대로, 재배열 함수를 <math>\alpha\circ\varphi</math>로 나타낼 수도 있다. 이제 <math>X=\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}</math>라 하자. 그럼 우리는 순열을 다음과 같이 나타낼 수 있다. :<math>\alpha=\begin{pmatrix}1&2&\ldots&i&\ldots&n\\\alpha\left(1\right)&\alpha\left(2\right)&\ldots&\alpha\left(i\right)&\ldots&\alpha\left(n\right)\end{pmatrix}</math> 즉, 1은 <math>\alpha\left(1\right)</math>로, 2는 <math>\alpha\left(2\right)</math>로, 이런식으로 쭉 순서를 바꾸는 것이다. 이러한 순열들의 집합을 <math>S_X</math>로 나타내며, 이는 함수의 합성에 대해 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 보통 '''대칭군(symmetric group)'''이라 부르며, 만약 <math>X=\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}</math>일 경우 <math>S_n</math>으로 간단히 표기한다. 어째서 군을 이루는지는 별로 어렵지 않으므로 직접 확인해보자. {{ㅊ|증명은 독자에게 연습문제로 남긴다.}} == 관련 항목 == *[[경우의 수]] *[[조합]] [[분류:조합론]][[분류:추상대수학]] {{각주}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 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Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문2 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)