순서쌍 편집하기

[[분류:수학]]
[[분류:집합론]]


'''순서쌍'''(順序雙, ordered pair)은 두 [[대상]]을 순서를 고려하여 묶은 것을 말한다. [[집합론]]에서 흔히 <math>(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}</math>으로 정의한다. 순서쌍은 2-tuple과도 같으며, 보통 <math>n</math>-tuple은 순서쌍을 이용하여 [[귀납적]]으로 정의된다.

순서를 고려하지 않는 쌍은 '''무순서쌍'''(無順序雙, unordered pair)이라고 하며, 이는 단순히 두 대상을 모아둔 [[집합]]에 불과하다. 그런 의미에서 무순서쌍을 '''쌍집합'''(pair set)이라고도 한다. 보통 <math>\{a, b\}</math>를 <math>a \ne b</math>일 때만 무순서쌍이라고 하고, <math>a=b \rightarrow \{a,b\} = \{a\}</math>는 단지 [[한원소집합]]일 뿐이다. 하지만 [[multiset]]을 도입하여 <math>\{a,a\}</math>를 무순서쌍으로 보기도 한다.

== 일반적인 정의 ==
순서쌍을 정의하는 방법은 많지만, 그 정의들은 다음 성질을 만족해야 한다:
: <math> (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d.</math>
즉, 순서쌍이 같으려면 그 좌표(coordinate)끼리 같아야 한다. 이 정의에 부합하는 정의 역시 (무한히) 만들어낼 수 있지만, 보통 다음의 [[카지미에시 쿠라토프스키]]에 의한 정의를 이용한다.
: <math>(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}</math>.
이 정의에서는 순서쌍 <math>p</math>의 첫 번째 좌표를 <math>\forall S \in p[a\in S]</math>인 <math>a</math>로 정의할 수 있다. 두 번째 좌표는 순서쌍에 속하는 두 집합에 공통으로 들어가는 대상이 아니므로 <math>\exists S \in p[b \in S] \wedge \forall S_1, S_2 \in p[S_1 \ne S_2 \rightarrow \neg(b\in S_1 \cap S_2)]</math>인 <math>b</math>로 정의할 수 있다.<ref><math>S_1 = S_2</math>이면 가정이 거짓이므로 첫 번째 좌표와 두 번째 좌표가 같다.</ref>

이 정의를 이용하면 <math> (a, b) = (c, d) \Longleftrightarrow a=c \wedge b=d.</math>를 보일 수 있으며, 그 증명은 아래와 같다.

{{인용문2|
 {{숨기기|증명|충분조건: <math>a = c \wedge b = d\rightarrow  (a,b)=\{\{a\}, \{a, b\}\} = \{\{c\}, \{c, d\}\}=(c,d)</math>

필요조건: 두 가지 경우를 생각하자: <math>a = b, \; a ≠ b.</math>

* <math>a =b\leftrightarrow (a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}=\{\{a\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}\rightarrow \{c\}=\{c,d\}=\{a\}\rightarrow c=a=d=b.</math>

* <math>a\ne b \leftrightarrow a\ne b \wedge (a=c \vee a \ne c). \quad a\ne b \wedge a \ne c\rightarrow\{a\}\ne \{c\}\wedge \{a\}\ne \{c,d\}\rightarrow (a,b)\ne (c,d) \; </math>이므로 <math>a=c\rightarrow b =d</math>이다.
}}}}

== 다른 정의 ==
=== [[노버트 위너]]의 정의 ===

=== [[펠릭스 하우스도르프]]의 정의 ===

=== 쿠라토프스키 정의의 변형 ===
위의 정의에서 단순히 <math>(a, b) = \{a, \{a, b\}\}</math>로 쓸 수도 있다. 이 정의 역시 <math>(a, b) = (c, d) \iff a=c \land b=d</math>를 만족한다.

{{인용문2|
 {{숨기기|증명|(<math>\Leftarrow</math>) <math>a=c \land b=d</math>이므로 <math>(a, b)=\{a, \{a, b\}\}=\{c, \{c, d\}\}=(c, d)</math>이다.

(<math>\Rightarrow</math>) 정칙성 공리에 의해 <math>a=\{a, b\}</math>, <math>c=\{c, d\}</math>가 성립할 수 없으므로 양 집합은 항상 서로 다른 두 원소를 갖는다. 그러므로 <math>a=c \land \{a, b\}=\{c, d\}</math>이거나 <math>a=\{c, d\} \land \{a, b\}=d</math>이다.

전자의 경우 <math>a=b</math>이면 <math>\{a\}=\{a, d\}</math>이므로 <math>a=d</math>이다. 즉 <math>a=b=c=d</math>이다.

<math>a\not=b</math>이면 <math>\{a, b\}=\{a, d\}</math>이므로 <math>b=d</math>이다.

따라서 <math>a=c \land b=d</math>이다.

후자의 경우 <math>\{\{c, d\}, b\}=d</math>인데, 정칙성 공리에 위배되어 모순이다.

그러므로 모든 경우에 대해 <math>a=c \land b=d</math>이다.
}}}}

=== [[앤서니 모스]]의 정의 ===



== Tuple ==
{{참조|Tuple}}

<math>\boldsymbol n</math>'''-tuple'''은 <math> n</math>개의 대상을 순서를 고려하여 나열한 것을 말한다. 이는 유한수열과도 같으며, 순서쌍을 이용하여 귀납적으로 정의된다:

: <math>(a_1, a_2, \cdots, a_n) := ((a_1, a_2, \cdots , a_{n-1}),a_n).</math>

이와 일대일 대응인 정의로는 [[함수]]를 이용한 정의<ref>함수(의 그래프)는 순서쌍들의 집합이다.</ref>가 있다: <math>(a_1, \cdots, a_n)=f:i \mapsto a_i = \{(i, a_i):i\in\{1, \cdots, n\}\}</math>. 부연 설명을 붙이자면, 위의 방식으로는 <math>(4, 5, 6) := ((4, 5), 6) = \{\{(4, 5)\}, \{(4, 5), 6\}\}</math>이고, 아래의 방식으로는 <math>(4, 5, 6) := \{(1, 4), (2, 5), (3, 6)\}</math>로 정의되는 것이다. 즉 위의 방식은 순서쌍을 이용한 귀납적인 정의, 아래의 방식은 함수([[수열]])로의 정의이다.

== 카테시언 곱 ==
{{참조|카테시언 곱}}

정렬된 집합족 <math>\mathcal A =\{A_i\}_{i\in I}</math>와 그 파라미터 <math>I=\{i_j:j=1,\cdots , n\}</math>에 대하여 <math>\prod\mathcal A=\prod _{i\in I}A_i = A_{i_1} \times \cdots \times A_{i_n}:=\{(a_i)_{i\in I}:a_i \in A_i\}=\{(a_{i_1},\cdots, a_{i_n}):a_{i_j}\in A_{i_j}\}</math>을 <math>\mathcal A </math>의 '''카테시언 곱'''(Cartesian<ref>Cartesian은 프랑스의 René Descartes를 뜻한다.</ref> product)이라 한다.

또한 위와 일대일 대응인 정의로 <math>\prod \mathcal A:= \{f:I\to \bigcup \mathcal A \backepsilon \forall i \in I [f(i)\in A_i]\}</math>로 정의하기도 한다.

{{주석}}