선형변환

정의

체 [math]\displaystyle{ F }[/math] 위의 벡터공간 [math]\displaystyle{ V,W }[/math]가 주어지고 [math]\displaystyle{ L }[/math]이 [math]\displaystyle{ V }[/math]에서 [math]\displaystyle{ W }[/math]로의 함수라고 하자. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1) }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ L }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]에서 [math]\displaystyle{ W }[/math]로의 선형변환(linear transformation)이라고 한다. 만약 [math]\displaystyle{ V=W }[/math]이면 선형연산자(linear operator)라고 한다.

또는 다음과 같이 대안적으로 정의하기도 한다: 임의의 [math]\displaystyle{ c_1,c_2\in F }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2)=c_1 L(\mathbf{v}_1)+c_2\mathbf{v}_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ L }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]에서 [math]\displaystyle{ W }[/math]로의 선형변환이라고 한다. 두 정의는 동치이다.

예시

함수 [math]\displaystyle{ L:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 }[/math]가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

[math]\displaystyle{ L\left(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y\\ y+z \end{bmatrix} }[/math]

그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} L\left(\begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{bmatrix}\right)&=L\left(\begin{bmatrix} x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2 \end{bmatrix}\right)\\ &=\begin{bmatrix} (x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\ (y_1+y_2)+(z_1+z_2) \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} x_1+y_1\\ y_1+z_1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} x_2+y_2\\ y_2+z_2 \end{bmatrix}\\ &=L\left(\begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1 \end{bmatrix}\right)+L\left(\begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2 \end{bmatrix}\right) \end{align} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \begin{align} L\left(c\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\right)&=L\left(\begin{bmatrix} cx\\ cy\\ cz \end{bmatrix}\right)\\ &=\begin{bmatrix} cx+cy\\ cy+cz \end{bmatrix}\\ &=c\begin{bmatrix} x+y\\ y+z \end{bmatrix}\\ &=cL\left(\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}\right) \end{align} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ L }[/math]은 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]로의 선형변환이다.

성질

선형변환 [math]\displaystyle{ L:V\to W }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v}\in V }[/math]에 대해,

• [math]\displaystyle{ L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_W }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{0}_V=\mathbf{0}_V+\mathbf{0}_V }[/math]이므로 선형변환의 정의에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} L(\mathbf{0}_V)&=L(\mathbf{0}_V+\mathbf{0}_V)\\ &=L(\mathbf{0}_V)+L(\mathbf{0}_V) \end{align} }[/math]

이다. 양변의 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{0}_V) }[/math]를 소거하면 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ L(-\mathbf{v})=-L(\mathbf{v}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} L(-\mathbf{v})&=L((-1_F)\mathbf{v})\\ &=(-1_F)L(\mathbf{v})\\ &=-L(\mathbf{v}) \end{align} }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ L(\mathbf{u}-\mathbf{v})=L(\mathbf{u})-L(\mathbf{v}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} L(\mathbf{u}-\mathbf{v})&=L(\mathbf{u}+(-\mathbf{v}))\\ &=L(\mathbf{u})+L(-\mathbf{v})\\ &=L(\mathbf{u})-L(\mathbf{v}) \end{align} }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.

선형변환의 핵과 상

체 [math]\displaystyle{ F }[/math] 위의 벡터공간 [math]\displaystyle{ V,W }[/math]와 선형변환 [math]\displaystyle{ L:V\to W }[/math]가 주어졌다고 하자. 이때, 집합

[math]\displaystyle{ \ker L = \{\mathbf{v}\in V: L(\mathbf{v})=\mathbf{0}\} }[/math]

을 [math]\displaystyle{ L }[/math]의 핵(kernel)이라고 하고, 집합

[math]\displaystyle{ \operatorname{Image}L = \{\mathbf{w}\in W: \mathbf{w}=L(\mathbf{v})\text{ for some }\mathbf{v}\in V\} }[/math]

을 [math]\displaystyle{ L }[/math]의 상(image)이라고 한다.

[math]\displaystyle{ \ker L }[/math]은 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분공간이다. [math]\displaystyle{ \ker L }[/math]의 임의의 두 원소를 [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v} }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ \ker L }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{u})=L(\mathbf{v})=\mathbf{0} }[/math]이다. 그러면 선형변환의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{0} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}+\mathbf{v}\in \ker L }[/math]이다. 또한 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{align} L(c\mathbf{v})&=cL(\mathbf{v})\\ &=c\mathbf{0}\\ &=\mathbf{0} \end{align} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ c\mathbf{v}\in \ker L }[/math]이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{Image}L }[/math]는 [math]\displaystyle{ W }[/math]의 부분공간이다. [math]\displaystyle{ \operatorname{Image} L }[/math]의 임의의 두 원소를 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ \operatorname{Image}L }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}_1),\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}_2) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in V }[/math]가 존재한다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2&=L(\mathbf{u}_1)+L(\mathbf{u}_2)\\ &=L(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) \end{align} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2\in V }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L(\mathbf{u}^*) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}^*\in V }[/math]가 존재하고, 그러므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\in \operatorname{Image} L }[/math]이다. 또한 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \begin{align} c\mathbf{v}_1&=cL(\mathbf{u}_1)\\ &=L(c\mathbf{u}_1) \end{align} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ c\mathbf{u}_1\in V }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ c\mathbf{v}_1=L(\mathbf{u}^*) }[/math]인 [math]\displaystyle{ \mathbf{u}^*\in V }[/math]가 존재하고, 그러므로 [math]\displaystyle{ c\mathbf{v}_1\in \operatorname{Image} L }[/math]이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

[math]\displaystyle{ \ker L }[/math]와 [math]\displaystyle{ \operatorname{Image} L }[/math] 사이에는 다음 관계식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ \dim V=\dim \ker L + \dim \operatorname{Image} L }[/math]