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''V''를 [[체 (수학)|체]] ''F'' 위의 [[벡터공간]]이라고 하자. ''V''에서 ''F''로의 [[선형변환]]을 '''선형범함수(linear functional)''' 또는 '''일차형식(linear form)'''이라고 한다. 즉 임의의 <math>c\in F</math>, <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2</math>, 선형범함수 ''f''에 대해 | ''V''를 [[체 (수학)|체]] ''F'' 위의 [[벡터공간]]이라고 하자. ''V''에서 ''F''로의 [[선형변환]]을 '''선형범함수(linear functional)''' 또는 '''일차형식(linear form)'''이라고 한다. 즉 임의의 <math>c\in F</math>, <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2</math>, 선형범함수 ''f''에 대해 | ||
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== 성질 == | == 성질 == | ||
* 유한차원 벡터공간 ''V'' 위의 모든 선형범함수의 벡터공간{{ㅈ|이 벡터공간을 쌍대공간 (dual space)이라 한다.}} 을 <math>V^*</math>라고 하자. 그러면 <math>\dim V^*=\dim V</math>이다. | * 유한차원 벡터공간 ''V'' 위의 모든 선형범함수의 벡터공간{{ㅈ|이 벡터공간을 쌍대공간 (dual space)이라 한다.}} 을 <math>V^*</math>라고 하자. 그러면 <math>\dim V^*=\dim V</math>이다. | ||
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2022년 1월 27일 (목) 15:37 기준 최신판
정의[편집 | 원본 편집]
V를 체 F 위의 벡터공간이라고 하자. V에서 F로의 선형변환을 선형범함수(linear functional) 또는 일차형식(linear form)이라고 한다. 즉 임의의 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 }[/math], 선형범함수 f에 대해
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2) }[/math]
- [math]\displaystyle{ f(c\mathbf{v}_1)=cf(\mathbf{v}_1) }[/math]
이다.
예시[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math]에서 상수 [math]\displaystyle{ \mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n) }[/math]가 주어졌다고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n) }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C} }[/math]가
- [math]\displaystyle{ f(\mathbf{v})=\overline{c_1}v_1+\overline{c_2}v_2+\cdots+\overline{c_n}v_n }[/math]
으로 주어지면, f는 선형범함수다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 유한차원 벡터공간 V 위의 모든 선형범함수의 벡터공간[1] 을 [math]\displaystyle{ V^* }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \dim V^*=\dim V }[/math]이다.
각주
- ↑ 이 벡터공간을 쌍대공간 (dual space)이라 한다.