사용자:Zhuny/연습장

여러가지를 테스트할 연습장입니다.

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작은군들

유한군 [math]\displaystyle{ G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n = |G| }[/math]라고 하자. 아벨군이 아닌 경우 마지막에 *표시.

• n=1
  1. 자명군 [math]\displaystyle{ \{ e \} = \mathbb{Z}_1 }[/math]
• n=2
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math]
• n=3
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_3 }[/math]
• n=4
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ K_4 = Z_2 \times Z_2 = D_4 }[/math]
• n=5
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 }[/math]
• n=6
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_6 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ S_3 = D_6 }[/math] *
• n=7
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_7 }[/math]
• n=8
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_8 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2 }[/math]
  3. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 }[/math]
  4. [math]\displaystyle{ D_8 }[/math] *
  5. [math]\displaystyle{ Q_8 }[/math] *
• n=9
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_9 }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3 }[/math]
• n=10
  1. [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_{10} }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ D_{10} }[/math] *

평면의 대칭군

평면의 등거리 변환은 총 4종류로 나눌 수 있다. 즉, 모든 평면의 등거리 변환은 이 중 하나로 나타낼 수 있다.

1. 평행이동 - [math]\displaystyle{ T_v }[/math] : [math]\displaystyle{ v \in \mathbb{R}^2 }[/math]만큼 움직인다.
2. 회전 - [math]\displaystyle{ R_{p, \theta} }[/math] : 점 [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{R}^2 }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \theta \in S^1 }[/math]만큼 회전시킨다.
3. 반사 - [math]\displaystyle{ F_{L} }[/math] : [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math]위의 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 기준으로 반사시킨다.
4. Glide 반사 - [math]\displaystyle{ G_{L,d} }[/math] : 선 [math]\displaystyle{ L }[/math]을 기준으로 반사시킨 뒤, [math]\displaystyle{ L }[/math]과 평행방향으로 [math]\displaystyle{ d }[/math]만큼 움직인다.

이런 변환을 모아놓은 집합은 Topological group이 된다. 즉, 열린 집합을 정할 수 있는 군이 된다.

평면의 등거리 변환의 부분군인 평면의 대칭군은 2개의 선형독립인 평행이동을 포함하는 이산공간이다. 평면의 대칭군은 총 17종류가 있다.