2015년 7월 9일 (목) 17:55 판

한꼴사상

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인터위키 테스트

oeis:A000108

사영기하학

사영기하학(射影幾何學, projective geometry)은 사영변환에 대해 보존되는 성질을 연구하는 매우 추상적인 기하학이다.

뉴턴의 운동 법칙

뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion)은 아이작 뉴턴에 의해 정립된 세 가지 물리 법칙이다.

역사

제1 법칙: 관성의 법칙

외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 속도 (또는 운동량)을 가지고 운동한다.

관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 관성기준틀(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.

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 = [[한꼴사상]] =
-<!--
-[[분류:수학]]
-[[분류:복소해석학]]
--->
-{{학술}}
-'''한꼴사상'''(conformal mapping, angle-preserving mapping)은 (국소적으로) 각을 보존하는 사상이다. 보통 [[복소해석학]]에서 복소평면 상에서 정의되나, 일반적으로는 더 고차원의 [[유클리드 공간]]이나 (준-)[[리만 다양체]]에서까지 정의될 수 있다. 이름이 angle-preserving이라 각의 크기만 보존하는 것으로 오해하는 경우가 많은데, 한꼴사상(''conformal'')은 [[등각사상]](''isogonal'')과 다르게 각도의 방향(orientation)까지 고려한다. 이름에서 알 수 있듯이, 변환을 해도 전과 같은 ''한꼴''이어야 한다.
-== 복소해석학 ==
-[[파일:Conformal.png|섬네일|400px|한꼴사상의 예이다.]]
-[[개집합|열린]] <math>\Bbb C</math>의 부분집합 <math>U</math>에 대하여, <math>f:U\to\Bbb C</math>와 <math>u\in U</math>을 지나는 [[곡선]] <math>\Gamma_1 , \Gamma_2</math>을 생각하자. 이때 <math>\Gamma_1 , \Gamma_2</math>가 <math>u</math>에서 이루는 각의 크기와 <math>f(\Gamma_1) , f(\Gamma_2)</math>가 <math>f(u)</math>에서 이루는 각<ref>크기만 생각하는 것이 아니다.</ref>이 같다면 이때 <math>f</math>를 한꼴사상이라 한다.
-한꼴사상이 곡선의 [[곡률]]까지 보존할 필요는 없다. 쉬운 예로, <math>f:z \mapsto z^2</math>과 <math>\Gamma_1: z=(1+i)t, \; \Gamma_2: z=1+it \; \; (t \in \Bbb R^+)</math>을 생각하자. 이 두 곡선은 <math>z=1+i \text{ as } t=1</math>에서의 각(<math>\theta_{1,2} = +1/4</math>)을 보존하지만, 곡률은 바뀐다.
-=== 성질 ===
-* [[도함수]]가 [[영점]]을 갖지 않는<ref>도함수가 0인 점에서는 두 곡선 사이의 각을 정의할 수 없다.</ref> [[정칙함수|정칙]]인 [[복소함수]]는 한꼴사상이다.
-{{인용문2|
-''증명''.
-실수 <math>t\in [a,b]</math>로 [[매개화]]된 [[미분가능]]한 곡선 <math>\Gamma(t)</math>와 <math>t_0 \in [a,b]</math>를 생각하자. 정칙사상 <math>f</math>는 <math>\Gamma(t)</math>를 <math>f(\Gamma(t))</math>로 옮길 것이며, <math>z_0=\Gamma(t_0)</math>에서의 편각 <math>\theta_0 = \operatorname{arg }\Gamma '(t_0)</math>은 <math>\operatorname{arg }\left ( f'(z_0)\Gamma'(t_0) \right ) = \operatorname{arg }f'(z_0)+ \operatorname{arg } \Gamma' (t_0) = \operatorname{arg }f'(z_0) + \theta_0</math>로 옮겨진다. 즉 <math>z_0</math>를 지나는 두 곡선이 이루는 각은 <math>\operatorname{arg }f'(z_0)</math>만큼만 더해질 뿐 그 크기와 방향은 변하지 않는다. □}}
-* [[확장 복소수체]]([[리만 구]]와 동형)에서 그 자신으로 가는 한꼴사상은 [[뫼비우스 변환]]밖에 없다.
-=== 다른 정의 ===
-한꼴사상에 대한 '''위와 동치가 아닌''' 다른 정의가 있다. <math>f \quad (\operatorname{dom} f : \text{ open})</math>가 한꼴사상이라는 것은 <math>f</math>가 단사인 정칙사상임을 말한다. [[열린 사상 정리]]에 의하여, <math>f</math>의 역사상은 정칙이며, 즉 <math>f</math>가 단사인 정칙사상임과 biholomolphic임은 동치이다.
-이는 1.1의 정의와는 차이가 있는데, 1.1.2의 정의가 1.1의 것의 특수한 경우이다. 단사이며 정칙임은 영점이 없는 도함수를 가짐을 말하지만, 그 역은 성립하지 않는다. (예시로 지수함수가 있다. 이는 정의역이 <math>\Bbb C</math>의 부분집합일 때 주기성을 가지므로 단사가 아닐 수 있다.)
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