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*[[/0]]

~~= 결합기하학 =~~

*[[/1]]

~~'''결합기하학'''(incidence geometry)은~~ [[~~결합기하학#결합구조|결합구조~~]]~~를 연구하는 학문이다. [[해석기하학]]과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.~~

~~== 결합구조 ==~~

*[[/2]] [[/2]]

~~<math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) 와 <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math>가~~ [[집합]]일 때, <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>을 '''결합구조'''(incidence structure), 또는 '''기하학적 구조'''(geometric structure)라 한다. 만약 <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</~~math>이 [[유한~~]]~~이면, <math>\sigma</math>를 '''유한결합구조'''라 한다. 여기서 <math>\mathscr P</math>는~~ [[~~점]]들의 집합이고, <math>\mathscr L<~~/math>은 [[선]]<ref>흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 [[아핀 평면#예시]] 참조.</ref>들의 집합이다. <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>의 [[교집합]]이 [[공집합|공]]~~이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.~~

주어진 점 <math>p, q\in\mathscr P</math>에 대하여, <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>이면 '''<math>p</math>와 <math>q</math>는 jointed'''라 하고, 만약 위를 만족하는 선 <math>L</math>이 단 하나 존재하면 '''<math>L</math>은 <math>p</math>와 <math>q</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(선 <math>L</math>을 <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''join'''이라 하고 <math>pq:=L</math>로 쓴다.) 비슷하게, 주어진 <math>L, M\in \mathscr L</math>에 대하여 <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>이면, '''<math>L</math>과 <math>M</math>이 만난다'''고 하며, 그러한 <math>p</math>가 유일하면 '''<math>p</math>는 <math>L</math>과 <math>M</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(점 <math>p:=L\cap M</math>을 <math>L</math>과 <math>M</math>의 '''교점'''이라고 한다.) 또한 <math>p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L):{\Longleftrightarrow} (p, L) \in \mathscr I</math>로 쓰기도 하며, 기하학적 구조를 표기할 때 <math>\mathscr I</math>를 생략하기도 한다.

*[[/3]]

~~이하 대문자는 선으로, 소문자는 점으로 나타낸다.~~

~~== 평면 ==~~

~~다음의 공리들을 만족하는 결합구조 <math>\pi=(\mathscr P , \mathscr L)</math>를 '''평면'''(planes)이라 정의한다:~~

* 서로 다른 <math>p, q</math>에 대하여 두 점을 지나는 선 <math>L</math>이 유일하게 존재한다.

* <math>L</math> 위에 서로 다른 두 개 이상의 점이 존재한다. {{숨기기|형식적인 표현|

* <math>\forall p, q \in\mathscr P(p \ne q) \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L,</math> (<math>L=pq</math>로 표기한다.)

* <math>\forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L.</math>

}}

~~=== 아핀 평면 ===~~

~~다음의 공리들을 만족하는 결합구조를 '''아핀 평면'''(affine plane)이라 정의한다:~~

* <math>L</math>이 존재한다.

* <math>L</math> 위에 서로 다른 <math>p, q</math>가 존재한다.

* <math>L</math> 위에 있지 않은 <math>r</math>가 존재한다.

* 서로 다른 <math>p, q</math>에 대하여 두 점을 지나는 선 <math>L</math>이 유일하게 존재한다.

* <math>L</math> 위에 있지 않은 <math>r</math>에 대하여 <math>r</math>을 지나고 <math>L</math>에 평행한 선 <math>M</math>이 존재한다.{{숨기기|형식적인 표현|

* <math>\exists L \in \mathscr L,</math>

* <math>\forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L,</math>

* <math>\forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L,</math>

* <math>\forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L\in \mathscr L,</math> (<math>L=pq</math>로 표기한다.)

* <math>\forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \parallel M.</math> (<math>L \parallel M</math>는 <math>\not \exists L \cap M</math>를 뜻한다.)

}}

~~물론, 모든 아핀 평면은 평면이다.~~

~~=== 실-아핀 평면 ===~~

~~다음의 공리들을 만족하는 결합구조 <math>\alpha_\mathbb R</math>를 '''실-아핀 평면'''이라 한다:~~

* <math>\mathscr P \subseteq \mathbb R^2,</math>

* <math>L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \},</math>

* ~~<math>(x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0.</math>~~

물론, 모든 실-아핀 평면은 아핀 평면이다. 정의를 보면 알 수 있듯이, 실-아핀 평면은 [[좌표평면]], 즉 표준적인 기저가 주어진 2 차원 유클리드 공간의 [[직선]]과 그 위의 점으로 만들어지는 결합구조이다.

~~=== 사영 평면 ===~~

= [[~~브룬 정리]] =~~

'''브룬 정리'''(Brun's theorem), 또는 '''브룬 추측'''(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 '''브룬 상수'''(Brun's constant)로 불리우며 보통 <math>B_2</~~math>로 표기한다.~~

~~== 진술 ==~~

<math>p_1, p_2, \cdots </math>를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 <math>p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P</math>를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 [[급수]]가 수렴한다:

~~<div align=center><math>\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{~~3~~} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) +\cdots < \infty</math></div>~~

~~== 증명 ==~~

~~이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 <math>\pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P)</math>로 정의한다.~~

~~{{숨기기|'''Lemma.''' <math>\pi_2 (x) < \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}</math>|증명들}}~~

이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. <math>\pi_2 (x) <\frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}< \frac{x}{(\log x)^{3/2}}</math> for all <math>x\ge 2</math>이므로 <math>n = \pi_2(p_n) < \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이다. 따라서 <math>\frac 1 {p_n} < \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이고,

<div align=center><math>\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < \frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n} < \frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}<\infty</math></div>

~~으로 증명이 완료된다.~~

~~== 브룬 상수의 값 ==~~

Brun 상수의 정확한 값은 '''알려진 바가 없다.''' 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 10<sup>16</sup> 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 [[외삽법]]을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다. Dominic Klyve은 [[확장된 리만 가설]]을 이용하여 <math>B_2 < 2.1754</math>임을 증명하였다.

~~== 쌍둥이 소수 추측과의 관계 ==~~

비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 '''거의 영향을 주지 못한다.''' 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. {{--|수해라 일학자!}}

~~= [[체르멜로-프렝켈 집합론]] =~~

[[수학]]에서, '''체르멜로-프렝켈 집합론'''('''Z'''ermelo-'''F'''raekel set theory, ZF)과 '''선택 공리를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론'''('''ZF''' with the axiom of '''C'''hoice, ZFC)은 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론|NBG 집합론]]과 함께 가장 보편적인 [[공리적 집합론]]의 일종이다. 표준적인 [[수학기초론]]으로 사용된다. ZF에서 몇 개의 공리<ref>정칙성 공리, 치환 공리꼴, 선택 공리</ref>를 제외한 것을 '''체르멜로 집합론'''(Zermelo set theory, Z)이라고 한다.

이 집합론은 [[게오르그 칸토어|Cantor]]의 [[순진한 집합론]]과 마찬가지로, 집합을 무정의 용어로 한다. 물론 순진한 집합론과는 다르게 집합이 될 수 있는 것에 제한(공리)을 두어 역설을 막는다.

~~== 진술 ==~~

~~=== Z ===~~

* '''확장 공리''' 또는 '''외연 공리'''(axiom of extensionality)

*: 두 집합의 상동을 정의하는 공리. 두 집합의 상동은 그 원소들만으로 결정된다. 확장 공리는 합집합 공리, 멱집합 공리, 치환 공리꼴, 선택 공리와 독립적(증명될 수 없음)임이 알려져 있다.

*: <math>\forall A \forall B[\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B)\Longrightarrow a=b].</math>

* '''짝 공리'''(axiom of pairing)

*: 어떤 두 집합을 원소로서 가지는 집합이 존재한다는 공리이다. 더욱 특정하게, 그 두 집합'''만'''을 원소로 하는 집합이 존재한다고도 한다. 여기에서 [[순서쌍]]의 존재성이 증명될 수 있다.

*: <math>\forall x \forall y \exists A \forall z[z\in A \Longleftrightarrow (z=x \lor z=y)].</math>

* '''분류 공리꼴'''(axiom schema of specification, axiom schema of comprehension (restricted))

*: 어떤 집합과 성질이 정의되어 있을 때, '''그 집합의 원소들 중'''(restricted) 주어진 성질을 만족하는 것들을 모은 집합이 존재한다. 범위를 주어진 집합보다 작게 제한한 이유는 모임이 너무 커서 생기는 [[러셀의 역설]] 등을 피하기 위한 것이다. 집합이 아닌 class를 정의하는 공리계의 경우, 특정한 집합의 원소들만을 모을 필요가 없다. [[NBG]] 참조.

* '''합집합 공리'''(axiom of union)

*: 어떤 집합족이 주어지면, 그 합집합이 존재한다.

*: <math>\forall \mathcal F \exists U \forall x[x\in U \Longleftrightarrow \exists A(x\in A \wedge A \in \mathcal F) ]</math>

* '''멱집합 공리'''(axiom of power set)

*: 어떤 집합이 주어지면, 그 멱집합이 존재한다.

*: <math>\forall A \exists \mathcal P \forall B[\forall x(x\in B \rightarrow y\in A)\Longleftrightarrow B\in \mathcal P]</math>

* '''무한 공리'''(axiom of infinity)

*: 공집합을 포함하며, 어떤 원소의 successor 역시 원소로 가지는 집합이 존재한다.

*: <math>\exists I [\emptyset \in I \wedge (x\in I \Rightarrow x^+\in \omega)], \quad \text{where } x^+:=x\cup \{x\}.</math>

** 무한공리는 ZFC의 다른 공리들과 독립적이며, ZF의 다른 공리들을 가정하면 다음 명제들과 동치이다:

*:# 무한 집합이 존재한다. (이것이 이 명제의 이름을 결정했을 것이다.)

*:# 서수 <math>\omega</math>가 집합이다.

*:# [[귀납적]]인 집합(inductive set)이 존재한다.

~~=== ZF ===~~

* '''치환 공리꼴'''(axiom schema of replacement)

*: 주어진 형식적으로 정의된 함수(definable class function)에 대하여 그 정의역이 집합일 때, 그 치역이 집합이 된다.

*: <math>\varphi</math>가 <math>x, y, w_1, \cdots, w_n, A</math>를 자유변수(free-variable)로 갖는 formula이면,

*: <div align=center><math>\forall w_1, \cdots, w_n \forall A \left[\left(\forall x \in A \exists ! y [\varphi (x, y, w_1, \cdots, w_n, A)] \Longrightarrow \exists B \forall y [y \in B \Leftrightarrow \exists x \in A \left( \varphi(x, y, w_1, \cdots, w_n, A)\right)]\right)\right]</math></div>

** 치환 공리꼴과 비슷한 공리꼴로 '''모임 공리꼴'''(axiom schema of collection)이라는 것이 있다. 치환 공리꼴은 치역 자체가 집합이 되어야 하지만, 모임 공리꼴이 진술하는 것은, 그 치역을 포함하는 집합의 존재성이다. 그 치역 자체는 집합이 될 필요가 없으며, 그 superclass 중 하나가 집합이기만 하면 된다.

* '''정칙성 공리'''(axiom of regularity) 또는 '''기초 공리'''(axiom of foundation)

*: 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소만을 포함한다. 이 공리에 따라 자기 자신을 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 이를 달리 쓰면 관계 <math>\in</math>가 well-founded되어 있다 ― 즉 임의의 집합이 <math>\in</math>-최소원을 갖는다고 해석할 수 있다.

*: <math>\forall x[x\ne\emptyset \Longrightarrow \exists y \in x(y \cap x = \emptyset)]</math>

*: 혹은 <math>\forall x[x\ne \emptyset \Longrightarrow \exists y \in x \forall z(z\in x \Rightarrow z \notin y)]</math>

** 정칙성 공리로 무한한 감소 집합렬, 즉 <math>A_0 \ni A_1 \ni \cdots</math>를 만족하는 집합렬 <math>\{ A_n \}_{n\in\mathbb N}</math>은 존재하지 않음을 보일 수 있다. 만약 [[종속 선택 공리|DC]]를 가정하면 반대로 이 명제에서 정칙성을 이끌어낼 수도 있다.

** 정칙성 공리를 가정하면 [[폰 노이만 우주|von Neumann universe]]와 모든 집합들의 class가 같다.

~~=== ZFC ===~~

~~{{본문|선택 공리}}~~

'''선택 공리'''((the) '''A'''xiom of '''Choice''')는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 다음과 같은 몇 개의 버전이 있으며, 다음은 모두 동치이다:

# <math>\mathcal A</math>를 mutually disjoint한 공이 아닌 집합들의 족이라 하자. 그렇다면 <math>\mathcal A</math>의 각각의 집합으로부터 하나의 원소-씩으로 구성된 집합이 존재한다.

~~# <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, <math>\prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset</math>이다.~~

# <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, 어떤 집합 <math>C</math>가 존재하여 <math>\forall I \in I [C \cap A_i \text{ is a singleton}]</math>이다.

# '''선택함수'''(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 <math>A</math>에 대하여, 함수 <math>F:\mathcal P(A) \to A</math>가 존재하여 <math>\forall X \in A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X]</math>이다.

~~==== 독립성 ====~~

[[쿠르트 괴델]]은 ZF가 [[일관적]](consistent)임을 가정하고, AC의 부정이 ZF의 정리가 아님을 ZFC를 만족하는 내부 모형을 구성함으로써 보여 결과적으로 ZFC가 일관적임을 보였다. 또 [[폴 코언]]은 [[강제법]]을 이용하여 ZF¬C인 모형을 구성하고 이것이 일관적임을 보였다. {{ㅊ|이거 하려고 그 무서운 방법을 고안해냈다 ㄷㄷ}} 이 두 결과로부터 우리는 ZF와 AC가 논리적으로 독립임을 알 수 있다.

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+*[[/0]]
-= 결합기하학 =
+*[[/1]]
-'''결합기하학'''(incidence geometry)은 [[결합기하학#결합구조|결합구조]]를 연구하는 학문이다. [[해석기하학]]과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.
-== 결합구조 ==
+*[[/2]] [[/2]]
-<math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) 와 <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math>가 [[집합]]일 때, <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>을 '''결합구조'''(incidence structure), 또는 '''기하학적 구조'''(geometric structure)라 한다. 만약 <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>이 [[유한]]이면, <math>\sigma</math>를 '''유한결합구조'''라 한다. 여기서 <math>\mathscr P</math>는 [[점]]들의 집합이고, <math>\mathscr L</math>은 [[선]]<ref>흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 [[아핀 평면#예시]] 참조.</ref>들의 집합이다. <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>의 [[교집합]]이 [[공집합|공]]이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.
-주어진 점 <math>p, q\in\mathscr P</math>에 대하여, <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>이면 '''<math>p</math>와 <math>q</math>는 jointed'''라 하고, 만약 위를 만족하는 선 <math>L</math>이 단 하나 존재하면 '''<math>L</math>은 <math>p</math>와 <math>q</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(선 <math>L</math>을 <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''join'''이라 하고 <math>pq:=L</math>로 쓴다.) 비슷하게, 주어진 <math>L, M\in \mathscr L</math>에 대하여 <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>이면, '''<math>L</math>과 <math>M</math>이 만난다'''고 하며, 그러한 <math>p</math>가 유일하면 '''<math>p</math>는 <math>L</math>과 <math>M</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(점 <math>p:=L\cap M</math>을 <math>L</math>과 <math>M</math>의 '''교점'''이라고 한다.) 또한 <math>p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L):{\Longleftrightarrow}  (p, L) \in \mathscr I</math>로 쓰기도 하며, 기하학적 구조를 표기할 때 <math>\mathscr I</math>를 생략하기도 한다.
+*[[/3]]
-이하 대문자는 선으로, 소문자는 점으로 나타낸다.
-== 평면 ==
-다음의 공리들을 만족하는 결합구조 <math>\pi=(\mathscr P , \mathscr L)</math>를 '''평면'''(planes)이라 정의한다:
-* 서로 다른 <math>p, q</math>에 대하여 두 점을 지나는 선 <math>L</math>이 유일하게 존재한다.
-* <math>L</math> 위에 서로 다른 두 개 이상의 점이 존재한다. {{숨기기|형식적인 표현|
-* <math>\forall p, q \in\mathscr P(p \ne q) \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L,</math> (<math>L=pq</math>로 표기한다.)
-* <math>\forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L.</math>
-}}
-=== 아핀 평면 ===
-다음의 공리들을 만족하는 결합구조를 '''아핀 평면'''(affine plane)이라 정의한다:
-* <math>L</math>이 존재한다.
-* <math>L</math> 위에 서로 다른 <math>p, q</math>가 존재한다.
-* <math>L</math> 위에 있지 않은 <math>r</math>가 존재한다.
-* 서로 다른 <math>p, q</math>에 대하여 두 점을 지나는 선 <math>L</math>이 유일하게 존재한다.
-* <math>L</math> 위에 있지 않은 <math>r</math>에 대하여 <math>r</math>을 지나고 <math>L</math>에 평행한 선 <math>M</math>이 존재한다.{{숨기기|형식적인 표현|
-* <math>\exists L \in \mathscr L,</math>
-* <math>\forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L,</math>
-* <math>\forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L,</math>
-* <math>\forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L\in \mathscr L,</math> (<math>L=pq</math>로 표기한다.)
-* <math>\forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \parallel M.</math> (<math>L \parallel M</math>는 <math>\not \exists L \cap M</math>를 뜻한다.)
-}}
-물론, 모든 아핀 평면은 평면이다.
-=== 실-아핀 평면 ===
-다음의 공리들을 만족하는 결합구조 <math>\alpha_\mathbb R</math>를 '''실-아핀 평면'''이라 한다:
-* <math>\mathscr P \subseteq \mathbb R^2,</math>
-* <math>L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \},</math>
-* <math>(x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0.</math>
-물론, 모든 실-아핀 평면은 아핀 평면이다. 정의를 보면 알 수 있듯이, 실-아핀 평면은 [[좌표평면]], 즉 표준적인 기저가 주어진 2 차원 유클리드 공간의 [[직선]]과 그 위의 점으로 만들어지는 결합구조이다.
-=== 사영 평면 ===
-= [[브룬 정리]] =
-'''브룬 정리'''(Brun's theorem), 또는 '''브룬 추측'''(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 '''브룬 상수'''(Brun's constant)로 불리우며 보통 <math>B_2</math>로 표기한다.
-== 진술 ==
-<math>p_1, p_2, \cdots </math>를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 <math>p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P</math>를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 [[급수]]가 수렴한다:
-<div align=center><math>\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)  + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)  +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)  +\cdots < \infty</math></div>
-== 증명 ==
-이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 <math>\pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P)</math>로 정의한다.
-{{숨기기|'''Lemma.''' <math>\pi_2 (x) < \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}</math>|증명들}}
-이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. <math>\pi_2 (x) <\frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}< \frac{x}{(\log x)^{3/2}}</math> for all <math>x\ge 2</math>이므로 <math>n = \pi_2(p_n) < \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이다. 따라서 <math>\frac 1 {p_n} < \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이고,
-<div align=center><math>\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < \frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n} < \frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}<\infty</math></div>
-으로 증명이 완료된다.
-== 브룬 상수의 값 ==
-Brun 상수의 정확한 값은 '''알려진 바가 없다.''' 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 10<sup>16</sup> 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 [[외삽법]]을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다.  Dominic Klyve은 [[확장된 리만 가설]]을 이용하여 <math>B_2 < 2.1754</math>임을 증명하였다.
-== 쌍둥이 소수 추측과의 관계 ==
-비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 '''거의 영향을 주지 못한다.''' 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. {{--|수해라 일학자!}}
-= [[체르멜로-프렝켈 집합론]] =
-[[수학]]에서, '''체르멜로-프렝켈 집합론'''('''Z'''ermelo-'''F'''raekel set theory, ZF)과 '''선택 공리를 포함하는 체르멜로-프렝켈 집합론'''('''ZF''' with the axiom of '''C'''hoice, ZFC)은 [[폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론|NBG 집합론]]과 함께 가장 보편적인 [[공리적 집합론]]의 일종이다. 표준적인 [[수학기초론]]으로 사용된다. ZF에서 몇 개의 공리<ref>정칙성 공리, 치환 공리꼴, 선택 공리</ref>를 제외한 것을 '''체르멜로 집합론'''(Zermelo set theory, Z)이라고 한다.
-이 집합론은 [[게오르그 칸토어|Cantor]]의 [[순진한 집합론]]과 마찬가지로, 집합을 무정의 용어로 한다. 물론 순진한 집합론과는 다르게 집합이 될 수 있는 것에 제한(공리)을 두어 역설을 막는다.
-== 진술 ==
-=== Z ===
-* '''확장 공리''' 또는 '''외연 공리'''(axiom of extensionality)
-*: 두 집합의 상동을 정의하는 공리. 두 집합의 상동은 그 원소들만으로 결정된다. 확장 공리는 합집합 공리, 멱집합 공리, 치환 공리꼴, 선택 공리와 독립적(증명될 수 없음)임이 알려져 있다.
-*: <math>\forall A \forall B[\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B)\Longrightarrow a=b].</math>
-* '''짝 공리'''(axiom of pairing)
-*: 어떤 두 집합을 원소로서 가지는 집합이 존재한다는 공리이다. 더욱 특정하게, 그 두 집합'''만'''을 원소로 하는 집합이 존재한다고도 한다. 여기에서 [[순서쌍]]의 존재성이 증명될 수 있다.
-*: <math>\forall x \forall y \exists A \forall z[z\in A \Longleftrightarrow (z=x \lor z=y)].</math>
-* '''분류 공리꼴'''(axiom schema of specification, axiom schema of comprehension (restricted))
-*: 어떤 집합과 성질이 정의되어 있을 때, '''그 집합의 원소들 중'''(restricted) 주어진 성질을 만족하는 것들을 모은 집합이 존재한다. 범위를 주어진 집합보다 작게 제한한 이유는 모임이 너무 커서 생기는 [[러셀의 역설]] 등을 피하기 위한 것이다. 집합이 아닌 class를 정의하는 공리계의 경우, 특정한 집합의 원소들만을 모을 필요가 없다. [[NBG]] 참조.
-* '''합집합 공리'''(axiom of union)
-*: 어떤 집합족이 주어지면, 그 합집합이 존재한다.
-*: <math>\forall \mathcal F \exists U \forall x[x\in U \Longleftrightarrow \exists A(x\in A \wedge A \in \mathcal F) ]</math>
-* '''멱집합 공리'''(axiom of power set)
-*: 어떤 집합이 주어지면, 그 멱집합이 존재한다.
-*: <math>\forall A \exists \mathcal P \forall B[\forall x(x\in B \rightarrow y\in A)\Longleftrightarrow B\in \mathcal P]</math>
-* '''무한 공리'''(axiom of infinity)
-*: 공집합을 포함하며, 어떤 원소의 successor 역시 원소로 가지는 집합이 존재한다.
-*: <math>\exists I [\emptyset \in I \wedge (x\in I \Rightarrow x^+\in \omega)], \quad \text{where } x^+:=x\cup \{x\}.</math>
-** 무한공리는 ZFC의 다른 공리들과 독립적이며, ZF의 다른 공리들을 가정하면 다음 명제들과 동치이다:
-*:# 무한 집합이 존재한다. (이것이 이 명제의 이름을 결정했을 것이다.)
-*:# 서수 <math>\omega</math>가 집합이다.
-*:# [[귀납적]]인 집합(inductive set)이 존재한다.
-=== ZF ===
-* '''치환 공리꼴'''(axiom schema of replacement)
-*: 주어진 형식적으로 정의된 함수(definable class function)에 대하여 그 정의역이 집합일 때, 그 치역이 집합이 된다.
-*: <math>\varphi</math>가 <math>x, y, w_1, \cdots, w_n, A</math>를 자유변수(free-variable)로 갖는 formula이면,
-*: <div align=center><math>\forall w_1, \cdots, w_n \forall A \left[\left(\forall x \in A \exists ! y [\varphi (x, y, w_1, \cdots, w_n, A)] \Longrightarrow \exists B \forall y [y \in B \Leftrightarrow  \exists x \in A \left( \varphi(x, y, w_1, \cdots, w_n, A)\right)]\right)\right]</math></div>
-** 치환 공리꼴과 비슷한 공리꼴로 '''모임 공리꼴'''(axiom schema of collection)이라는 것이 있다. 치환 공리꼴은 치역 자체가 집합이 되어야 하지만, 모임 공리꼴이 진술하는 것은, 그 치역을 포함하는 집합의 존재성이다. 그 치역 자체는 집합이 될 필요가 없으며, 그 superclass 중 하나가 집합이기만 하면 된다.
-* '''정칙성 공리'''(axiom of  regularity) 또는 '''기초 공리'''(axiom of foundation)
-*: 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소만을 포함한다. 이 공리에 따라 자기 자신을 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 이를 달리 쓰면 관계 <math>\in</math>가 well-founded되어 있다 ― 즉 임의의 집합이 <math>\in</math>-최소원을 갖는다고 해석할 수 있다.
-*: <math>\forall x[x\ne\emptyset \Longrightarrow \exists y \in x(y \cap x = \emptyset)]</math>
-*: 혹은 <math>\forall x[x\ne \emptyset \Longrightarrow \exists y \in x \forall z(z\in x \Rightarrow z \notin y)]</math>
-** 정칙성 공리로 무한한 감소 집합렬, 즉 <math>A_0 \ni A_1 \ni \cdots</math>를 만족하는 집합렬 <math>\{ A_n \}_{n\in\mathbb N}</math>은 존재하지 않음을 보일 수 있다. 만약 [[종속 선택 공리|DC]]를 가정하면 반대로 이 명제에서 정칙성을 이끌어낼 수도 있다.
-** 정칙성 공리를 가정하면 [[폰 노이만 우주|von Neumann universe]]와 모든 집합들의 class가 같다.
-=== ZFC ===
-{{본문|선택 공리}}
-'''선택 공리'''((the) '''A'''xiom of '''Choice''')는 임의의 집합족의 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 모아 만든 새로운 집합을 구성할 수 있음을 주장하는 공리이다. 다음과 같은 몇 개의 버전이 있으며, 다음은 모두 동치이다:
-# <math>\mathcal A</math>를 mutually disjoint한 공이 아닌 집합들의 족이라 하자. 그렇다면 <math>\mathcal A</math>의 각각의 집합으로부터 하나의 원소-씩으로 구성된 집합이 존재한다.
-# <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, <math>\prod_{i \in I} A_i \ne \emptyset</math>이다.
-# <math>\mathcal A = \{A_i\}_{i\in I}</math>를 index를 가진 집합족이라 하자. <math>I\ne \emptyset</math>이면, 어떤 집합 <math>C</math>가 존재하여 <math>\forall I \in I [C \cap A_i \text{ is a singleton}]</math>이다.
-# '''선택함수'''(choice function)가 존재한다. 더욱 명시적으로, 주어진 집합 <math>A</math>에 대하여, 함수 <math>F:\mathcal P(A) \to A</math>가 존재하여 <math>\forall X \in A[X\ne \emptyset \Rightarrow F(X) \in X]</math>이다.
-==== 독립성 ====
-[[쿠르트 괴델]]은 ZF가 [[일관적]](consistent)임을 가정하고, AC의 부정이 ZF의 정리가 아님을 ZFC를 만족하는 내부 모형을 구성함으로써 보여 결과적으로 ZFC가 일관적임을 보였다. 또 [[폴 코언]]은 [[강제법]]을 이용하여 ZF¬C인 모형을 구성하고 이것이 일관적임을 보였다. {{ㅊ|이거 하려고 그 무서운 방법을 고안해냈다 ㄷㄷ}} 이 두 결과로부터 우리는 ZF와 AC가 논리적으로 독립임을 알 수 있다.

사용자:CrMT/연습장: 두 판 사이의 차이

2016년 10월 14일 (금) 20:36 기준 최신판