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| = 결합기하학 =
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| '''결합기하학'''(incidence geometry)은 [[결합기하학#결합구조|결합구조]]를 연구하는 학문이다. [[해석기하학]]과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.
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| == 결합구조 ==
| | *[[/2]] [[/2]] |
| <math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) 와 <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math>가 [[집합]]일 때, <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>을 '''결합구조'''(incidence structure), 또는 '''기하학적 구조'''(geometric structure)라 한다. 만약 <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>이 [[유한]]이면, <math>\sigma</math>를 '''유한결합구조'''라 한다. 여기서 <math>\mathscr P</math>는 [[점]]들의 집합이고, <math>\mathscr L</math>은 [[선]]<ref>흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 [[아핀 평면#예시]] 참조.</ref>들의 집합이다. <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>의 [[교집합]]이 [[공집합|공]]이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.
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| 주어진 점 <math>p, q\in\mathscr P</math>에 대하여, <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>이면 '''<math>p</math>와 <math>q</math>는 jointed'''라 하고, 만약 위를 만족하는 선 <math>L</math>이 단 하나 존재하면 '''<math>L</math>은 <math>p</math>와 <math>q</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(선 <math>L</math>을 <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''join'''이라 하고 <math>pq:=L</math>로 쓴다.) 비슷하게, 주어진 <math>L, M\in \mathscr L</math>에 대하여 <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>이면, '''<math>L</math>과 <math>M</math>이 만난다'''고 하며, 그러한 <math>p</math>가 유일하면 '''<math>p</math>는 <math>L</math>과 <math>M</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(점 <math>p:=L\cap M</math>을 <math>L</math>과 <math>M</math>의 '''교점'''이라고 한다.) 또한 <math>[p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} [(p, L) \in \mathscr I]</math>로 쓰기도 하며, 기하학적 구조를 표기할 때 <math>\mathscr I</math>를 생략하기도 한다.
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| 이하 대문자는 선으로, 소문자는 점으로 나타낸다.
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| == 평면 ==
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| 다음의 공리들을 만족하는 결합구조 <math>\pi=(\mathscr P , \mathscr L)</math>를 '''평면'''(planes)이라 정의한다:
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| * 서로 다른 <math>p, q</math>에 대하여 두 점을 지나는 선 <math>L</math>이 유일하게 존재한다.
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| * <math>L</math> 위에 서로 다른 두 개 이상의 점이 존재한다. {{숨기기|형식적인 표현|
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| * <math>\forall p, q \in\mathscr P(p \ne q) \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L,</math> (<math>L=pq</math>로 표기한다.)
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| * <math>\forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L.</math>
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| === 아핀 평면 ===
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| 다음의 공리들을 만족하는 결합구조를 '''아핀 평면'''(affine plane)이라 정의한다:
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| * <math>L</math>이 존재한다.
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| * <math>L</math> 위에 서로 다른 <math>p, q</math>가 존재한다.
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| * <math>L</math> 위에 있지 않은 <math>r</math>가 존재한다.
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| * 서로 다른 <math>p, q</math>에 대하여 두 점을 지나는 선 <math>L</math>이 유일하게 존재한다.
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| * <math>L</math> 위에 있지 않은 <math>r</math>에 대하여 <math>r</math>을 지나고 <math>L</math>에 평행한 선 <math>M</math>이 존재한다.{{숨기기|형식적인 표현|
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| * <math>\exists L \in \mathscr L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L,</math>
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| * <math>\forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L\in \mathscr L,</math> (<math>L=pq</math>로 표기한다.)
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \parallel M.</math> (<math>L \parallel M</math>는 <math>\not \exists L \cap M</math>를 뜻한다.)
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| 물론, 모든 아핀 평면은 평면이다.
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| === 실-아핀 평면 ===
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| 다음의 공리들을 만족하는 결합구조 <math>\alpha_\mathbb R</math>를 '''실-아핀 평면'''이라 한다:
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| * <math>\mathscr P \subseteq \mathbb R^2,</math>
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| * <math>L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \},</math>
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| * <math>(x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0.</math> | |
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| 물론, 모든 실-아핀 평면은 아핀 평면이다. 정의를 보면 알 수 있듯이, 실-아핀 평면은 [[좌표평면]], 즉 표준적인 기저가 주어진 2 차원 유클리드 공간의 [[직선]]과 그 위의 점으로 만들어지는 결합구조이다.
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| === 사영 평면 ===
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| = [[브룬 정리]] =
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| '''브룬 정리'''(Brun's theorem), 또는 '''브룬 추측'''(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 '''브룬 상수'''(Brun's constant)로 불리우며 보통 <math>B_2</math>로 표기한다.
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| == 진술 ==
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| <math>p_1, p_2, \cdots </math>를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 <math>p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P</math>를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 [[급수]]가 수렴한다:
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| <div align=center><math>\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) +\cdots < \infty</math></div>
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| == 증명 ==
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| 이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 <math>\pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P)</math>로 정의한다.
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| {{숨기기|'''Lemma.''' <math>\pi_2 (x) = O\left(\frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right)</math>|증명들}}
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| 이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. <math>\pi_2 (x) = O\left(\frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\right) < \frac{x}{(\log x)^{3/2}}</math> for all <math>x\ge 2</math>이므로 <math>n = \pi_2(p_n) < \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이다. 따라서 <math>\frac 1 {p_n} < \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}</math> for <math>n\ge 2</math>이고,
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| <div align=center><math>\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) < \frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n} < \frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}<\infty</math></div>
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| 으로 증명이 완료된다.
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| == 브룬 상수의 값 ==
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| Brun 상수의 정확한 값은 '''알려진 바가 없다.''' 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 10<sup>16</sup> 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 [[외삽법]]을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다. Dominic Klyve은 [[확장된 리만 가설]]을 이용하여 <math>B_2 < 2.1754</math>임을 증명하였다.
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| == 쌍둥이 소수 추측과의 관계 ==
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| 비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 '''거의 영향을 주지 못한다.''' 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. {{--|수해라 일학자!}}
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