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| = [[벡터]] =
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| '''벡터 공간'''(vector space)은 덧셈 연산과 스칼라곱(scalar multiplication)<ref>[[내적]]이 아니다.</ref>이 잘 정의되어 있으며 [[교환법칙]], [[결합법칙]], [[분배법칙]] 등이 성립하는 공간이다. 이 공간의 원소를 '''벡터'''(vector)라 하며, 직관적으로는 크기와 방향을 가진 대상이라 할 수 있다. 물론 [[노릅 (수학)|노름]]이 주어지지 않은 공간에서는 벡터의 크기를 정의할 수 없다. 벡터 공간에 [[내적]]이라는 벡터 사이 연산을 추가하여 [[내적 공간]](inner product space)을 만든다.
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| == 정의 ==
| | *[[/1]] |
| 체 <math>F</math>에 대한 '''벡터 공간'''은 다음 조건을 만족하는 <math>(V, +, \mathrm{SM})</math>을 말한다. 이때 <math>V</math>의 원소를 '''벡터'''라 하고 <math>+:V\times V \ti V</math>를 덧셈, <math>\mathrm{SM}:F\times V \to V</math>을 스칼라곱이라 한다.
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| * <math>(V, +)</math>는 [[아벨 군]]이다. 즉, [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]을 만족하며 [[항등원]]과 임의의 원소에 대한 [[역원]]이 존재한다. | | *[[/2]] [[/2]] |
| * 임의의 <math>a,b\in F, v\in V</math>에 대하여 <math>a(bv)=(ab)v.</math>
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| * 체 <math>F</math>의 곱셈에 대한 항등원 1과 임의의 <math>v\in V</math>에 대하여 <math>1v = v.</math>
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| * [[분배 법칙]]: 임의의 <math>a, b\in F, u, v\in V</math>에 대하여 <math>(a+b)(u+v)=au+bu+av+bv.</math>
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| 벡터 공간의 체가 [[실수|<math>\mathbb R</math>]]로 주어진 경우 '''실-벡터 공간'''(real vector space)이라 하고, [[복소수|<math>\mathbb C</math>]]로 주어진 경우 '''복소-벡터 공간'''(complex vector space)이라 한다.
| | *[[/3]] |
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| 주어진 벡터 공간 <math>V</math>의 [[부분집합]] <math>W</math>이 (<math>V</math>의) 덧셈과 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으면 이를 <math>V</math>의 [[부분공간|(선형) 부분공간]](subspace)라 한다. 즉 부분공간은 벡터 공간을 이루는 부분집합이다.
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| == 기저와 차원 ==
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| 벡터 공간 <math>V</math>의 부분집합 <math>S</math>에 대하여 [[생성 (선형대수학)|<math>\mathbf S</math>가 생성한 부분공간]] <math>\langle S \rangle</math> (또는 <math>\operatorname{span} S</math>)을 <math>S</math>를 포함하는 가장 작은 <math>V</math>의 부분공간으로 정의한다. 즉, <math>S\subseteq \langle S \rangle \le V</math><ref><math>\le</math>는 부분공간임을 나타낸다.</ref>이면서 <math>S\subseteq W \le V \implies \langle S \rangle \le W</math>일 때 <math>\langle S \rangle</math>를 <math>S</math>가 생성한 부분공간이라고 한다. 이는 <math>S</math>의 원소의 임의의 일차결합으로 이루어진 집합과 같다. 또한 이는 [[존재성과 유일성|유일하게 존재한다]].
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| 만약 <math>V</math>를 생성하는 집합이 [[일차독립]](linear independent)이면, 이 집합을 <math>V</math>의 [[기저]](basis) <math>\mathfrak B</math>라고 한다. 벡터 공간의 기저가 유일하지는 않지만, (만약 존재한다면) 기저의 원소의 수는 항상 같다. 이를 벡터 공간의 [[차원]](dimension) <math>\operatorname{dim}V=|\mathfrak B| (\in \operatorname{Card})</math>이라고 한다. [[선택 공리]]를 가정하지 않으면 모든 벡터 공간에 대하여 차원을 정의할 수 없기 때문에 잘 정의되지 않는다. 즉, 차원이 잘 정의되려면 선택 공리를 가정해야 한다.<ref>선택 공리와 동치인 명제 중 "모든 벡터 공간은 기저를 가진다."가 있다.</ref>
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| 선택 공리를 가정하면 차원이 주어졌을 때, 모든 벡터 공간을 분류할 수 있다. Linear extension theorem에 의하면 차원이 같은 두 벡터 공간에 대하여 둘 사이의 isomorphism이 존재한다. 즉, 모든 <math>F</math>-벡터 공간 <math>V</math>은 <math>\oplus_{i=1}^{\operatorname{dim}V} F</math>와 같다. 즉 체 <math>F</math>를 그 차원만큼 [[직합]](direct sum)하면 그 벡터 공간과 똑같은 벡터 공간이 나온다. 이제 차원으로써 벡터 공간을 분류할 수 있음을 안다.
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| == 선형 사상 ==
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| 체 <math>F</math>와 <math>F</math>-벡터 공간 <math>V, W</math>에 대하여, 합과 스칼라곱을 보존하는 사상 <math>L:V\to W</math>을 [[선형 사상]](선형 변환, linear map)이라 한다. 선형 사상들의 집합 <math>\mathfrak{L}(V, W)</math>은 벡터 공간을 이룬다.만약 <math>V, W</math>가 유한 차원 벡터 공간이며 기저가 주어져 있으면 선형 변환을 [[행렬]]로써 나타낼 수 있다. [[선형대수학의 기본 정리]]에 의하여 선형 변환은 행렬과 완전히 같기 때문이다.
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| == 예시 ==
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| {{각주}}
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| = 결합기하학 =
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| '''결합기하학'''(incidence geometry)은 [[결합기하학#결합구조|결합구조]]를 연구하는 학문이다. [[해석기하학]]과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.
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| == 결합구조 ==
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| <math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) 와 <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math>가 [[집합]]일 때, <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>을 '''결합구조'''(incidence structure), 또는 '''기하학적 구조'''(geometric structure)라 한다. 만약 <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>이 [[유한]]이면, <math>\sigma</math>를 '''유한결합구조'''라 한다. 여기서 <math>\mathscr P</math>는 [[점]]들의 집합이고, <math>\mathscr L</math>은 [[선]]<ref>흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 [[아핀 평면#예시]] 참조.</ref>들의 집합이다. <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>의 [[교집합]]이 [[공집합|공]]이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.
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| 주어진 점 <math>p, q\in\mathscr P</math>에 대하여, <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>이면 '''<math>p</math>와 <math>q</math>는 jointed'''라 하고, 만약 위를 만족하는 선 <math>L</math>이 단 하나 존재하면 '''<math>L</math>은 <math>p</math>와 <math>q</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(선 <math>L</math>을 <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''join'''이라 하고 <math>pq:=L</math>로 쓴다.) 비슷하게, given <math>L, M\in \mathscr L</math>, if <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>, we say '''<math>L</math> and <math>M</math> meet''', and we say '''<math>p</math> is decided by <math>L</math> and <math>M</math>''' if there is only one point <math>p</math>(we call it the '''intersection''' <math>p:=L\cap M</math>.) And also denote <math>[p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] := [(p, L) \in \mathscr I]</math> and omit <math>\mathscr I</math>.
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| == 평면 ==
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| We shall call incidence structures <math>\pi=(\mathscr P , \mathscr I)</math> satisfying following axioms '''planes''':
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| * <math>\forall p, q \in\mathscr P \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L,</math>
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| * <math>\forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L.</math>
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| === 아핀 평면 ===
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| We call incidence structures satisfying following axioms '''affine planes''':
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| * <math>\exists L \in \mathscr L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L,</math>
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| * <math>\forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L=pq\in \mathscr L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \| M.</math> (<math>L \| M</math> means <math>\not \exists L \cap M</math>.)
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| And every affine plane is a plane.
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| === 실-아핀 평면 ===
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| We call incidence structures <math>\alpha_\mathbb R</math> satisfying following axioms '''real affine planes''':
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| * <math>\mathscr P \subseteq \mathbb R^2,</math>
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| * <math>L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \},</math>
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| * <math>(x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0.</math>
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| And every real affine plane is an affine plane.
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| === 사영 평면 ===
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| = 뉴턴의 운동 법칙 =
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| '''뉴턴의 운동 법칙'''(Newton's laws of motion)은 [[아이작 뉴턴]]에 의해 정립된 세 가지 [[물리]] 법칙이다.
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| == 역사 ==
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| == 제1 법칙: 관성의 법칙 ==
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| {{인용문2|외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 [[속도]] (또는 [[운동량]])을 가지고 운동한다.}}
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| 관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 '''관성기준틀'''(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.
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| == 제2 법칙: 가속도의 법칙 ==
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| == 제3 법칙: 작용-반작용의 법칙 ==
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