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| = [[거듭제곱의 합]] =
| | *[[/0]] |
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| '''거듭제곱의 합'''(power of sum)은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 지수가 변하는 것과 밑이 변하는 것.
| | *[[/1]] |
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| == 지수가 변하는 거듭제곱의 합 ==
| | *[[/2]] [[/2]] |
| 가장 기본적인 형태는
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| :<math>\sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math>
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| 이다. 이를 미분하여 <math>x</math>를 곱하면 다음을 얻는다.
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| :<math>\sum_{i=0}^n ix^i = \frac{x-(n+1)x^{n+1} + nx^{n+2}}{(x-1)^2}.</math>
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| 비슷한 방법으로 어떤 양의 정수 <math>e_i \quad (i=0,\cdots,m)</math>에 대하여
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| :<math>\sum_{k=0}^n k^{e_0}(k-1)^{e_1}\cdots (k-m)^{e_m}x^k</math>
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| 를 구할 수 있다.
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| 급수 <math>\sum_{k \ge 0} x^k</math>는 <math>|x|<1</math>일 때 수렴하며 <math>\sum_{k \ge 0} x^k=(1-x)^{-1}</math>이다. 일반적으로
| | *[[/3]] |
| : <math>\left(\sum_{k \ge 0} x^k\right)^p = (1-x)^{-p} = \frac 1{(p-1)!}\sum_{n\ge 0} \frac{(n+p-1)!}{n!}x^n</math>
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| 가 된다. 이와 비슷한 유한 합은
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| : <math>\left(\sum_{k =0}^n x^k\right)^p = \frac 1 {(p-1)!} \sum_{k=0}^{np} \frac{(n-|n-k|+p-1)!}{n-|n-k|!}x^k</math>
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| 이다.
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| == 밑이 변하는 거듭제곱의 합 ==
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| 가장 기본적인 형태는
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| :<math>\sum_{i=0}^n i^p</math>
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| 이다. 이는 위 경우에 비하여 계산하기가 어렵다. 고교 과정에서는 <math>p=1, 2, 3</math>의 경우를 배우는데, [[이항정리]]를 이용하여 [[수학적 귀납법|귀납적]]으로 이끌어낸다. <math>\sum_{i=0}^n i^p</math>를 만들기 위하여 <math>(x+1)^{p+1} - x^{p+1} = \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}x^j</math>를 이용한다. 이 식을 <math>i=0</math>에서부터 <math>i=n</math>까지 더하면
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| :<math>\sum_{i=0}^n \left((i+1)^{p+1} - i^{p+1}\right)=(n+1)^{p+1} = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}i^j = \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j} \sum_{i=0}^n i^j </math>
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| 이다. 이를
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| :<math>(n+1)^{p+1}-\sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j=\binom{p+1}{p}\sum_{i=0}^n i^p</math>
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| :<math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} - \frac 1 {p+1} \sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j</math>
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| 로 정리하면 원하는 식을 얻는다.
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| [[베르누이 수]]를 이용하면 귀납적이지 않은 하나의 식으로 위의 합을 나타낼 수 있다. [[오일러-매클로린 공식]]을 이용하여
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| :<math>\sum_{k=1}^n f(k) = \int_1 ^n f(x)\mathrm dx + \frac{1}{2}(f(1)+f(n)) + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b) - f^{(k-1)}(a)\right)</math>
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| 에서 <math>f(k) = k^p</math>로 두면,
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| :<math>\sum_{k=1}^n k^p = n^p + \sum_{k=0}^p \frac{B_k p!}{k! (p-k+1)!}n^{p-k+1} = \sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!}n^k</math>
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| 이 식에서 계수들의 합이 1이라는 것을 쉽게 알 수 있다.
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| :<math>\sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!} = 1</math>
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| 또한 두 개의 파라미터로 변하는 급수로도 나타낼 수 있다.
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| :<math>\sum_{i=0}^n k^p = \sum_{i=1}^p \sum_{j=0}^{i-1} (-1)^j (i-j)^p \binom{n+p-i+1}{n-i} \binom{p+1}{j}</math>
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| === 공식 ===
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| * <math>\sum_{k=0}^n k=\frac 1 2 n(n+1)</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^2=\frac 1 6 n(n+1)(2n+1)</math> | |
| * <math>\sum_{k=0}^n k^3=\frac 1 4 n^2 (n+1)^2</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^4=\frac 1 {30} n (n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^5=\frac 1 {12} n^2 (n+1)^2 (2n^2 + 2n-1)</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^6=\frac 1 {42} n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1)</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^7=\frac 1 {24} n^2 (n+1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2)</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^8=\frac 1 {90} n(n+1)(2n+1)(5n^6 + 15n^5 + 5n^4 - 15n^3 - n^2 + 9n - 3)</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^9=\frac 1 {20} n^2(n+1)^2 (n^2+n-1)(2n^4 + 4n^3 - n^2 - 3n + 3)</math>
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| * <math>\sum_{k=0}^n k^{10}=\frac 1{66} n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1)(3n^6 + 9n^5 + 2n^4 - 11n^3 + 3n^2 + 10n -5)</math>
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| === 1부터의 연속한 자연수의 합 ===
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| [[파일:intsum1.png|섬네일|같은 색으로 표현된 도형은 <math>\sum_{k=1}^n k</math>를 나타내고, 가로는 <math>n</math>, 세로는 <math>n+1</math>임에서 공식을 유도할 수 있다.|250px|오른쪽]] | |
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| 특히 연속한 자연수의 합은 여러 가지 방법으로 구할 수 있다. 가장 알기 쉬운 방법으로는, 소문으로 들려오는 [[가우스]]가 어렸을 때 썼다는 방법이 있다.
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| {| style="text-align: right;" align="center"
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| |-
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| | || 1 || + || 2 || + || … || + || (n-1) || + || n
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| |-
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| | +) || n || + || (n-1) || + || … || + || 2 || + || 1
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| |-
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| | style="border-top: 1px solid black;" colspan="10" |
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| |-
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| | || (n+1) || + || (n+1) || + || … || + || (n+1) || + || (n+1) || <math>\quad n</math> 개
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| |}
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| 위에서 <math>2\sum_{k=1}^n k = n(n+1), \quad \sum_{k=1}^n k = \frac 1 2 n(n+1)</math>임을 알 수 있다.
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| === [[니코마코스의 정리]] ===
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| [[파일:nicomachusthm.png|섬네일|가로와 세로가 모두 <math>\sum_{k=1}^n k</math>이고, 한 변의 길이가 <math>k</math>인 정사각형이 <math>k</math> 개 있으므로 그 넓이의 합은 <math>k^2 \cdot k = k^3</math>이고 공식이 유도된다.|250px|오른쪽]]
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| 세제곱의 합 공식
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| :<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \frac 1 4 n^2 (n+1)^2</math>
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| 을 보면, 누구나 자연수의 합 공식의 제곱으로 나타남을 알 수 있을 것이다.
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| :<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 </math>
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| 이를 [[니코마코스의 정리]](Nicomachus's theorem)라고 한다.
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| == 참고 ==
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| * [http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html Wolfram Mathworld]
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| = 결합기하학 =
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| '''결합기하학'''(incidence geometry)은 [[결합기하학#결합구조|결합구조]]를 연구하는 학문이다. [[해석기하학]]과 달리 점, 선, 그리고 그 결합만을 생각한다.
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| == 결합구조 ==
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| <math>\mathscr P</math>, <math>\mathscr L</math>(<math>\mathscr P \cap \mathscr L = \emptyset</math>) 와 <math>\mathscr I\subseteq \mathscr P \times \mathscr L</math>가 [[집합]]일 때, <math>\sigma = (\mathscr P, \mathscr L, \mathscr I)</math>을 '''결합구조'''(incidence structure), 또는 '''기하학적 구조'''(geometric structure)라 한다. 만약 <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>이 [[유한]]이면, <math>\sigma</math>를 '''유한결합구조'''라 한다. 여기서 <math>\mathscr P</math>는 [[점]]들의 집합이고, <math>\mathscr L</math>은 [[선]]<ref>흔히 생각하는 직선일 필요는 없다. 아래의 [[아핀 평면#예시]] 참조.</ref>들의 집합이다. <math>\mathscr P</math>와 <math>\mathscr L</math>의 [[교집합]]이 [[공집합|공]]이라는 것은, 점과 선을 같은 것으로 보지 않겠다는 말이다.
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| 주어진 점 <math>p, q\in\mathscr P</math>에 대하여, <math>\exists L \in \mathscr L \text{ s.t. } (p,L),(q,L)\in \mathscr I</math>이면 '''<math>p</math>와 <math>q</math>는 jointed'''라 하고, 만약 위를 만족하는 선 <math>L</math>이 단 하나 존재하면 '''<math>L</math>은 <math>p</math>와 <math>q</math>에 의하여 결정된다'''고 한다(선 <math>L</math>을 <math>p</math>와 <math>q</math>의 '''join'''이라 하고 <math>pq:=L</math>로 쓴다.) 비슷하게, given <math>L, M\in \mathscr L</math>, if <math>\exists p \in \mathscr P \text{ s.t. } (p,L),(p,M)\in \mathscr I</math>, we say '''<math>L</math> and <math>M</math> meet''', and we say '''<math>p</math> is decided by <math>L</math> and <math>M</math>''' if there is only one point <math>p</math>(we call it the '''intersection''' <math>p:=L\cap M</math>.) And also denote <math>[p(\in\mathscr P)\in L (\in \mathscr L)] := [(p, L) \in \mathscr I]</math> and omit <math>\mathscr I</math>.
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| == 평면 ==
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| We shall call incidence structures <math>\pi=(\mathscr P , \mathscr I)</math> satisfying following axioms '''planes''':
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| * <math>\forall p, q \in\mathscr P \exists ! L \in \mathscr L \text{ s.t. }p, q\in L,</math>
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| * <math>\forall L\in\mathscr L \exists p, q\in\mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. } p, q \in L.</math>
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| === 아핀 평면 ===
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| We call incidence structures satisfying following axioms '''affine planes''':
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| * <math>\exists L \in \mathscr L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists p, q\in \mathscr P (p \ne q) \text{ s.t. }p,q\in L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \exists r\in\mathscr P \text{ s.t. }r \notin L,</math>
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| * <math>\forall p,q \in \mathscr P (p\ne q)\exists ! L=pq\in \mathscr L,</math>
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| * <math>\forall L \in \mathscr L \forall p (\notin L) \in \mathscr P \exists ! M \in \mathscr L \text{ s.t. } p \in M \wedge L \| M.</math> (<math>L \| M</math> means <math>\not \exists L \cap M</math>.)
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| And every affine plane is a plane.
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| === 실-아핀 평면 ===
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| We call incidence structures <math>\alpha_\mathbb R</math> satisfying following axioms '''real affine planes''':
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| * <math>\mathscr P \subseteq \mathbb R^2,</math>
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| * <math>L(\in \mathscr L) = \{(x,y)|ax+by+c=0 \wedge a, b, c\in\mathbb R \wedge \neg(a=0\wedge b=0) \},</math>
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| * <math>(x_0 , y_0) \in \{ (x,y)|ax+by+c = 0\} \Longleftrightarrow ax_0 + by_0 + c = 0.</math>
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| And every real affine plane is an affine plane.
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| === 사영 평면 ===
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| = 뉴턴의 운동 법칙 =
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| '''뉴턴의 운동 법칙'''(Newton's laws of motion)은 [[아이작 뉴턴]]에 의해 정립된 세 가지 [[물리]] 법칙이다.
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| == 역사 ==
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| == 제1 법칙: 관성의 법칙 ==
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| {{인용문2|외력이 없을 때 어떤 물체의 질량중심은 일정한 [[속도]] (또는 [[운동량]])을 가지고 운동한다.}}
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| 관성의 법칙을 만족하는 기준틀(좌표계)를 '''관성기준틀'''(관성좌표계, 관성계)라 부르고, 즉 이는 등속도 운동을 하는 기준틀을 말한다.
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| == 제2 법칙: 가속도의 법칙 ==
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| == 제3 법칙: 작용-반작용의 법칙 ==
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