브룬 정리

브룬 정리

브룬 정리(Brun's theorem), 또는 브룬 추측(Brun's conjecture)은 쌍둥이 소수의 역수의 합들을 모두 더한 것이 수렴한다는 정리이다. 이 수렴값은 브룬 상수(Brun's constant)로 불리우며 보통 [math]\displaystyle{ B_2 }[/math]로 표기한다.

진술

[math]\displaystyle{ p_1, p_2, \cdots }[/math]를 쌍둥이 소수 중 작은 수라 하자. 즉 [math]\displaystyle{ p_i\in\mathbb P \wedge (p_i+2)\in\mathbb P }[/math]를 만족한다고 하자. 그렇다면 다음 급수가 수렴한다:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_i + 2}\right) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) +\cdots \lt \infty }[/math]

증명

이하 쌍둥이 소수 세기 함수를 [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) = \# (p: \, p\le x \wedge p \in \mathbb P \wedge (p+2) \in\mathbb P) }[/math]로 정의한다.

Lemma. [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) \lt \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2} }[/math] 증명들

이 Lemma를 이용하면, 쉽게 Brun의 정리를 증명할 수 있다. [math]\displaystyle{ \pi_2 (x) \lt \frac{x (\log \log x)^2}{(\log x)^2}\lt \frac{x}{(\log x)^{3/2}} }[/math] for all [math]\displaystyle{ x\ge 2 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n = \pi_2(p_n) \lt \frac{p_n}{(\log p_n)^{3/2}} \le \frac{p_n}{(\log n)^{3/2}} }[/math] for [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \frac 1 {p_n} \lt \frac 1 {n(\log n)^{3/2}} }[/math] for [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math]이고,

[math]\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n + 2}\right) \lt \frac{16}{15} + 2\sum_{n\ge 2}\frac{1}{p_n} \lt \frac{16}{15} + 2 \sum_{n\ge 2} \frac 1 {n(\log n)^{3/2}}\lt \infty }[/math]

으로 증명이 완료된다.

브룬 상수의 값

Brun 상수의 정확한 값은 알려진 바가 없다. 2002 년에 Pascal Sebah와 Patrick Demichel이 10¹⁶ 정도까지의 소수의 역수의 합을 구하여 외삽법을 이용하여 추정한 Brun 상수의 값은 약 1.902160583104이다. Dominic Klyve은 확장된 리만 가설을 이용하여 [math]\displaystyle{ B_2 \lt 2.1754 }[/math]임을 증명하였다.

쌍둥이 소수 추측과의 관계

비록 Brun의 정리가 놀라운 결과이기는 하지만, 안타깝게도 쌍둥이 추측에는 거의 영향을 주지 못한다. 물론 쌍둥이 소수의 빈도가 갈수록 작아진다는 것을 보여주기는 하지만, 이것이 쌍둥이 소수 추측을 증명하거나 반증할 수 없다. 수해라 일학자!