로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''불가촉수'''(Untouchable number)는 [[자연수]]의 진약수의 합으로 도달할 수 없는 수를 말한다. 가장 작은 불가촉수들은 아래와 같다. * 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, … {{OEIS|A005114}} 2 이상의 모든 자연수의 진약수로 1이 있고, 1보다 큰 진약수가 있다면 진약수의 합은 3 이상이다. 즉 2는 진약수의 합으로 나타낼 수 없으므로 불가촉수이다. [[에르되시 팔]]은 불가촉수의 개수가 무한하다는 사실을 증명하였다. == 불가촉수 여부 == [[소수 (정수)|소수]]의 진약수의 합은 언제나 1이므로, 1은 불가촉수가 아니다. 1 이외의 어떤 자연수가 불가촉수인지 알아보려면 [[합성수]]의 진약수의 합으로 확인하면 된다. * 소수의 제곱, 즉 <math>p^2</math>의 진약수의 합은 <math>p+1</math>이므로, (소수+1) 꼴의 자연수는 전부 불가촉수가 아니다. 나아가 <math>p^{e-1}+p^{e-2}+\cdots +1</math> 꼴의 자연수는 <math>p^e</math> 꼴의 진약수의 합으로 표현되므로, 이 역시 불가촉수가 아니다. * 9 이상의 홀수는 불가촉수가 아님을 비교적 쉽게 확인할 수 있다. 아래 문단 참고. * 짝수의 경우, 홀수의 제곱 또는 짝수의 진약수를 중심으로 확인하면 된다. ** 홀수의 진약수는 모두 홀수이다. 완전제곱수가 아닌 자연수의 전체 약수는 짝수 개이므로 진약수는 홀수 개이다. 따라서 완전제곱수가 아닌 홀수의 진약수의 합은 홀수이다. ** 짝수, 즉 <math>2m</math>의 진약수 중 가장 큰 값은 원래 수의 절반인 <math>m</math>이다. 또, 1과 2 역시 진약수이므로, 6 이상의 짝수 <math>n</math>이 불가촉수인지 알아보려면 <math>2(n-3)</math> 이하의 짝수들을 대상으로 진약수의 합을 조사하면 된다. ** 홀수의 제곱의 진약수의 합에 대해서는 후보를 미리 상당수 추릴 수 있다. <math>m</math>이 홀수이고 <math>q</math>를 진약수로 가질 때, <math>N=m^2</math>은 <math>q, mq</math>를 반드시 진약수로 가진다. 이때 <math>1\leq q<m\leq mq<N</math>이다. 따라서 <math>N</math>의 진약수의 합은 <math>m+1</math>의 배수이다. 그러므로 <math>n</math>이 불가촉수인지 알아보려면 <math>n</math>의 짝수 약수들을 찾고, 그 약수에서 1을 뺀 값의 제곱에 대해 진약수의 합을 조사하면 된다. 52를 예로 들어보면, 먼저 98 이하의 짝수들의 진약수의 합으로는 52를 찾을 수 없다. 홀수의 제곱에 대해서는, 52의 짝수 약수인 2, 4, 26, 52에서 1을 빼고 제곱한 자연수인 1, 9, 625, 2601만 조사하면 된다. 여기서도 진약수의 합으로 52를 찾을 수 없다. 따라서 52는 불가촉수이다. == 홀수 불가촉수 == {{참고|골드바흐 추측}} 현재까지 찾아낸 홀수 불가촉수는 5가 유일하다. 만약 [[골드바흐 추측]]이 참이라면, 5 이외의 홀수 불가촉수는 존재하지 않는다는 사실에 ''거의'' 다다를 수 있다. * 3과 7은 각각 4와 8의 진약수의 합으로 나타낼 수 있으므로 불가촉수가 아니다. * '''진술''': 8 이상의 모든 짝수가 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다면, 5 이외의 홀수 불가촉수는 존재하지 않는다. * '''증명''': 9 이상의 임의의 홀수 <math>n</math>이 있다고 할 때, 가정에 의해 <math>n-1=p+q, p \neq q</math>인 두 소수를 불러올 수 있다. <math>N=pq</math>라 하면 진약수들의 합은 <math>\sigma(N)-N=1+p+q=n</math>이 되어, 불가촉수의 정의에 의해 <math>n</math>은 불가촉수가 아니다. 골드바흐 추측 자체는 짝수를 두 소수의 합으로 나타낼 때, 같은 소수를 두 번 사용하는 것을 허용한다는 전제가 깔려있다. 때문에 위 진술의 가정은 골드바흐 추측 자체가 아닌 조금 더 강화된 조건이다. 어떤 짝수가 소수의 두 배가 아니면, 골드바흐 추측의 정리로부터 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로 위 진술을 그대로 적용할 수 있다. 소수의 두 배의 경우, 같은 소수 둘 외의 다른 조합(10=3+7, 14=3+11 등)을 찾아야 한다. == 같이 보기 == 아래 세 부류는 정의 자체로 불가촉수가 될 수 없는 자연수들이다. * [[완전수]] * [[친화수]] * [[사교수]] {{각주}} {{수}} [[분류:수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:OEIS (편집) 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수 (편집) 틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)