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# [[곱셈]], 나눗셈: <math>a\leq b</math>이고 <math>c>0</math>이면 <math>ac\leq bc,\,\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c}</math>가, 만약 <math>c<0</math>이면 <math>ac\geq bc,\,\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c}</math>가 성립한다. 특히, <math>a\leq b</math>이면 <math>-a\geq -b</math>가 성립한다. 알아놔야 할 점은 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다. | # [[곱셈]], 나눗셈: <math>a\leq b</math>이고 <math>c>0</math>이면 <math>ac\leq bc,\,\frac{a}{c}\leq\frac{b}{c}</math>가, 만약 <math>c<0</math>이면 <math>ac\geq bc,\,\frac{a}{c}\geq\frac{b}{c}</math>가 성립한다. 특히, <math>a\leq b</math>이면 <math>-a\geq -b</math>가 성립한다. 알아놔야 할 점은 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다. | ||
# [[역수]]: <math>0< a\leq b</math>이면, <math>0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}</math>가, <math>a\leq b<0</math>이면 <math>\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}<0</math>이, 그리고 <math>a< 0< b</math>이면 <math>\frac{1}{a}<0<\frac{1}{b}</math>가 성립한다. | # [[역수]]: <math>0< a\leq b</math>이면, <math>0<\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}</math>가, <math>a\leq b<0</math>이면 <math>\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}<0</math>이, 그리고 <math>a< 0< b</math>이면 <math>\frac{1}{a}<0<\frac{1}{b}</math>가 성립한다. | ||
# 보존성: 증가[[함수]]를 합성해도 부등호의 방향은 유지된다. 증가함수를 예로 들어보자. 함수 <math>f</math>가 단조 증가 함수라 가정하고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)\leq f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>라 하자. 그럼 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>가 그대로 성립한다. <math>a< b</math>여도 그대로 성립한다. 만약 함수 <math>f</math>가 강증가 함수이고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>이면 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>, <math>a< b</math>이면 <math>f\left(a\right)< f\left(b\right)</math>가 성립한다. <math>f</math>가 감소함수이면 부등호 방향이 뒤집힌다. 참고로 이를 이용해서 일부 부등식을 쉽게 증명할 수 있다. 부등식에 지수가 많으면 [[로그]]을 이용, 그후 [[미분]]을 사용하는 식으로. | # 보존성: 증가[[함수 (수학)|함수]]를 합성해도 부등호의 방향은 유지된다. 증가함수를 예로 들어보자. 함수 <math>f</math>가 단조 증가 함수라 가정하고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)\leq f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>라 하자. 그럼 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>가 그대로 성립한다. <math>a< b</math>여도 그대로 성립한다. 만약 함수 <math>f</math>가 강증가 함수이고,<ref><math>x_1< x_2</math>이면 <math>f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)</math>인 함수</ref> <math>a\leq b</math>이면 <math>f\left(a\right)\leq f\left(b\right)</math>, <math>a< b</math>이면 <math>f\left(a\right)< f\left(b\right)</math>가 성립한다. <math>f</math>가 감소함수이면 부등호 방향이 뒤집힌다. 참고로 이를 이용해서 일부 부등식을 쉽게 증명할 수 있다. 부등식에 지수가 많으면 [[로그]]을 이용, 그후 [[미분]]을 사용하는 식으로. | ||
# <math>a< b</math>라 하자. 그럼 이는 적당한 [[실수]] <math>r> 0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치이다. 만약 <math>a\leq b</math>이면 적당한 실수 <math>r\geq0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치. 이를 사용하여 부등식을 [[방정식]] 문제로 바꿀 수 있다. | # <math>a< b</math>라 하자. 그럼 이는 적당한 [[실수]] <math>r> 0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치이다. 만약 <math>a\leq b</math>이면 적당한 실수 <math>r\geq0</math>이 존재하여 <math>a+r=b</math>를 만족함과 동치. 이를 사용하여 부등식을 [[방정식]] 문제로 바꿀 수 있다. | ||