변심거리

변심거리(邊心距離,apothem 또는 줄여서 apo)또는 '정다각형의 변심거리'는 기하학에서 정다각형의 중심에서 변까지의 거리를 말한다.

또는 원의 중심을 지나는 직선이 현을 수직이등분할때 중심부터 현까지의 거리를 말한다.

정사각형

원에 내접한 정다각형의 변심거리(apo)는 연장선상의 화살거리(sagit)와 더해져 반지름이 된다.

원에 내접한 정사각형의 한변에 도달한 변심거리와 원의 반지름 그리고 그 둘의 간격 차인 화살거리

현

변심거리의 변을 현으로 가정해볼때 현을 수직이등분하는 직선이 원의 중심을 지나는것과 관련있음을 확인할수있다. 또한 직경과 현의 길이와의 관계는 피타고라스의 정리를 통해서 조사할수있다.

유클리드 기하학 원론 제3권 법칙35

현 [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math]와 직경[math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]가 수직으로 만나는 점 E에서 선분 AE와 선분EB와의 비율은 원둘레에서 호의 길이의 비율을 보여준다. 따라서 이러한 성질은 선분 AE와 선분EB와의 비율에서 역시 활꼴의 면적을 보여줄 수 있다.

[math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]가 원의 중심을 지나 현 [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math]를 수직이등분할때

[math]\displaystyle{ \overline{OC}^2 = \overline{CE}^2+ \overline{OE}^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{OC} = \overline{OB} = \overline{AO} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{OB}= \overline{OE} + \overline{EB} }[/math]

따라서

[math]\displaystyle{ \overline{CE}^2 =\overline{OC}^2 - \overline{OE}^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{CE}^2 =\overline{AO}^2 - \overline{OE}^2 }[/math]

그리고

[math]\displaystyle{ \overline{AO}^2 - \overline{OE}^2 = \left( \overline{AO} -\overline{OE}\right) \left(\overline{AO}+ \overline{OE} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{AO}^2 - \overline{OE}^2 = \left( \overline{EB}\right) \left(\overline{AE} \right) }[/math]

따라서

[math]\displaystyle{ \left( \overline{CE}\right) \left(\overline{CE} \right) =\left( \overline{EB}\right) \left(\overline{AE} \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \left( \overline{CE}\right) \left(\overline{ED} \right) =\left( \overline{EB}\right) \left(\overline{AE} \right) }[/math]이다.

이렇게 현의 길이와 직경(지름)의 길이는 일대일 대응한다.
한편 활꼴의 길이 선분CD와 활꼴의 높이 선분EB를 갖는 활꼴의 길이([math]\displaystyle{ l }[/math])는 높이([math]\displaystyle{ h }[/math])와 직경([math]\displaystyle{ D }[/math])에서 다음의 관계가 있다.

[math]\displaystyle{ \left( \overline{CE} \right) \left( \overline{ED} \right) = \left( \overline{AE} \right) \left( \overline{EB} \right) }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ \overline{CD} = \overline{CE} + \overline{ED} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \overline{CE} = \overline{ED} }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \overline{AE} = a, \overline{EB} = b , \overline{CE} =x }[/math]를 가정하고

[math]\displaystyle{ x^2 = ab }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \sqrt{ab} }[/math]

[math]\displaystyle{ l = 2x = 2\sqrt{ab} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ a =D-b }[/math]이다.

따라서

[math]\displaystyle{ l = 2\sqrt{(D-b)b} }[/math]

따라서

[math]\displaystyle{ l = 2\sqrt{(D-b)b} }[/math]

[math]\displaystyle{ l = \sqrt{4} \sqrt{(D-h)h} }[/math]

[math]\displaystyle{ l = \sqrt{ \left( 4D h \right) - \left( 4 h^2 \right) } }[/math]

연관

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• [참고](유클리드 기하학 원론,구텐베르크 프로젝트,John Casey 1885)http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc