소개
(3차원 벡터공간에 대한 설명을 기반으로 한 직관의 설명 추가바람)
어떤 마술의 금서목록의 등장인물인 엑셀러레이터의 초능력이 이 벡터공간의 원소인 벡터를 마음대로 다루는 것이다.
정의[1]
체 위의 가군이다. [2] 직관적으로 말해, 덧셈뺄셈이 가능한 어떤 집합이 주어져 있고, 여기에 "스칼라"의 집합을 모아서 그 집합의 원소들을 상수배 곱하는 것 역시 허용한다는 것이다.
혹은 정의를 완전히 풀어서 쓰면 다음과 같다. 수체 K와 집합 V에 대해서 다음이 성립할 때, V를 수체 K위에서 정의된 벡터공간이라고 한다.
1. 모든 u, v∈V에 대해 u+v는 V에 속한다.
2. 모든 v∈V와 k∈K에 대해 kv는 V에 속한다.
3. 모든 u, v, w∈V에 대해 (u+v)+w=u+(v+w)다.
4. 모든 v∈V에 대해 v+0=v인 0이 V에 존재한다.
5. 모든 v∈V에 대해 v+(-v)=0인 -v가 V에 존재한다.
6. 모든 u, v∈V에 대해 u+v=v+u다.
7. 모든 k∈K와 u, v∈V에 대해 k(u+v)=ku+kv다.
8. 모든 k, l∈K와 v∈V에 대해 (k+l)v=kv+lv다.
9. 모든 k, l∈K와 v∈V에 대해 (kl)v=k(lv)다.
10. 모든 v∈V에 대해 1v=v인 1이 K에 존재한다.
이때 벡터공간의 원소를 벡터라고 한다.
예시
저 조건만 만족하면 벡터공간이므로 실제로 벡터공간이 될 수 있는 집합들은 매우 다양하다. 아래는 그 예시들이다.
- 실수 위에서 정의된 평면 또는 공간.
- K위에서 정의된 Kn.
- 유리수 위에서 정의된 실수.
- 실수 위에서 정의된 실수에서 실수로 가는 함수의 집합.
- 실수 위에서 정의된 실수에서 실수로 가는 연속함수[3]의 집합
연산
성질
부분공간
벡터 공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ W }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ \mathbf{0}\in W }[/math]
- [math]\displaystyle{ \forall\mathbf{x},\mathbf{y}\in V,\mathbf{x}+\mathbf{y}\in W }[/math]
- [math]\displaystyle{ \forall a\in K,\forall\mathbf{x}\in V,a\mathbf{x}\in V }[/math]
의 세 조건을 만족할 때 [math]\displaystyle{ W }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 부분공간이라고 한다. 부분공간도 벡터공간이다.