벡터공간

소개

(3차원 벡터공간에 대한 설명을 기반으로 한 직관의 설명 추가바람)

정의

체 위의 가군이다. 직관적으로 말해, 덧셈뺄셈이 가능한 어떤 집합이 주어져 있고, 여기에 "스칼라"의 집합을 모아서 그 집합의 원소들을 상수배 곱하는 것 역시 허용한다는 것이다.

혹은 정의를 완전히 풀어서 쓰면 다음과 같다. 수체 K와 집합 V에 대해서 다음이 성립할 때, V를 수체 K위에서 정의된 벡터공간이라고 한다.

1. 모든 u, v∈V에 대해 u+v는 V에 속한다.

2. 모든 v∈V와 k∈K에 대해 kv는 V에 속한다.

3. 모든 u, v, w∈V에 대해 (u+v)+w=u+(v+w)다.

4. 모든 v∈V에 대해 v+0=v인 0이 V에 존재한다.

5. 모든 v∈V에 대해 v+(-v)=0인 -v가 V에 존재한다.

6. 모든 u, v∈V에 대해 u+v=v+u다.

7. 모든 k∈K와 u, v∈V에 대해 k(u+v)=ku+kv다.

8. 모든 k, l∈K와 v∈V에 대해 (k+l)v=kv+lv다.

9. 모든 k, l∈K와 v∈V에 대해 (kl)v=k(lv)다.

10. 모든 v∈V에 대해 1v=v인 1이 K에 존재한다.

이때 벡터공간의 원소를 벡터라고 한다.

예시

저 조건만 만족하면 벡터공간이므로 실제로 벡터공간이 될 수 있는 집합들은 매우 다양하다. 아래는 그 예시들이다.

• 실수 위에서 정의된 평면 또는 공간.
• K위에서 정의된 Kⁿ.
• 유리수 위에서 정의된 실수.
• 실수 위에서 정의된 실수에서 실수로 가는 함수의 집합.
  • 실수 위에서 정의된 실수에서 실수로 가는 연속함수의 집합