벡터곱

틀:학술 벡터곱(vector product), 크로스곱(cross product), 또는 벡터의 외적은 0, 1, 3, 7차원에서만 정의되는 벡터간의 이항연산이다. 벡터곱은 분배법칙이 성립하고 반교환적이며, 결합법칙이 성립하지 않는다. 기하학적으로 외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 뜻하며, 이를 강조하기 위하여 유향면적곱(directed area product)이라고도 한다.

방향이 정해진 벡터 공간에서, 두 벡터 [math]\displaystyle{ \mathbf u, \; \mathbf v }[/math]의 벡터곱은 [math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta \; \hat{\mathbf n} = \sqrt{\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| - \left\lt \mathbf u, \mathbf v\right\gt ^2} \; \hat{\mathbf n} }[/math]으로 정의된다. 이때, [math]\displaystyle{ \theta }[/math]는 두 벡터 사이의 각이고, [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf n} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbf u, \; \mathbf v }[/math]에 수직인 단위벡터 중 오른손 법칙을 따르도록 결정된 것이다.

3차원에서의 벡터곱

3차원 유클리드 공간에서, 두 벡터 u, v의 벡터곱은 다음과 같다:

[math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = \left|\begin{matrix}\mathbf e_1 &\mathbf e_2 &\mathbf e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{matrix} \right| =\left({\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{3}&u_{1}\\v_{3}&v_{1}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\right). }[/math]

증명은 단순 계산이므로 생략. 이에 따르면, 3차원 유클리드 공간의 표준기저의 벡터곱은

[math]\displaystyle{ \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 = -\mathbf e_2 \times \mathbf e_1 = \mathbf e_3, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf e_2 \times \mathbf e_3 = -\mathbf e_3 \times \mathbf e_2 = \mathbf e_1, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf e_3 \times \mathbf e_1 = -\mathbf e_1 \times \mathbf e_3 = \mathbf e_2 }[/math]

가 된다.

성질

기본적인 성질

• 반교환적: [math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = -\mathbf v \times \mathbf u. }[/math]
• 분배법칙: [math]\displaystyle{ \mathbf u \times (\mathbf v+\mathbf w) =\mathbf u \times \mathbf v+\mathbf u \times \mathbf w. }[/math]
• 스칼라곱과의 호환성: [math]\displaystyle{ (r\mathbf u) \times \mathbf v =r(\mathbf u \times \mathbf v)=\mathbf u\times(r \mathbf v)=r\mathbf u \times \mathbf v. }[/math]
• 야코비 항등식: [math]\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}}\mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) = \mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) +\mathbf v \times (\mathbf w \times \mathbf u) + \mathbf w \times (\mathbf u \times \mathbf v) = \mathbf 0. }[/math]
• 결합법칙이 성립하지 않는다.
• 소거법칙(cancellation law)이 성립하지 않는다. 즉 [math]\displaystyle{ \mathbf u \times (\mathbf v - \mathbf w) = 0, \; \mathbf u \ne \mathbf 0 }[/math]이라고 해도 [math]\displaystyle{ \mathbf v = \mathbf w }[/math]인 것이 아니다. 단지 [math]\displaystyle{ \mathbf u }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{ v-w} }[/math]가 평행, 즉 [math]\displaystyle{ \exists t \in \mathbb R, \;\mathbf w = \mathbf v + t \mathbf u }[/math]를 말한다. 하지만 [math]\displaystyle{ \mathbf u \cdot (\mathbf v - \mathbf w) = 0 }[/math]라는 조건이 더 주어지면 [math]\displaystyle{ \mathbf v = \mathbf w }[/math]이다.

벡터곱의 크기: 평행사변형의 넓이

벡터곱의 크기 [math]\displaystyle{ \|\mathbf u \times \mathbf v \| = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta }[/math]는 두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 만들어지는 평행사변형(또는 선분)의 넓이를 의미한다. 비슷하게, 두 벡터가 만드는 삼각형의 넓이는 이의 절반인 [math]\displaystyle{ \frac 1 2 \|\mathbf u \times \mathbf v \| }[/math]가 된다. 이는 신발끈 정리와 같다.

스칼라 삼중적: 평행육면체의 넓이

세 벡터 스칼라 삼중적(scalar triple product)은 다음과 같이 정의된다: [math]\displaystyle{ [\mathbf {uvw}] := \mathbf u \cdot \mathbf v \times \mathbf w = \mathbf u \cdot (\mathbf v \times \mathbf w) = \left|\begin{matrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix} \right| = | \mathbf u \; \mathbf v \; \mathbf w |=*({\mathbf {a}}\wedge {\mathbf {b}}\wedge {\mathbf {c}}). }[/math] 이때, 첫 번째 식을 그라스만 기호(Graßmann symbol)라고 한다. 두 번째 식이 잘 정의되는 이유는, 연산 순서가 명확하기 때문이다. (앞의 스칼라곱을 먼저 계산하면 나머지 벡터곱을 계산할 수 없다.) 네 번째 식은 세 열벡터로 이루어진 행렬의 행렬식이며, 마지막 식은 세 벡터의 쐐기곱의 호지 별(Hodge star)이다. 네 번째 식에서 알 수 있듯이, 이는 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피를 말한다.

벡터곱과 일차변환

3차 정방행렬 [math]\displaystyle{ M }[/math]에 대하여, 다음이 성립한다:

[math]\displaystyle{ (M\mathbf a)\times(M\mathbf b) = \operatorname{cof}\;M (\mathbf a \times \mathbf b) = |M| (M^{-1})^{\mathsf T} (\mathbf a \times \mathbf b). }[/math]

특히, [math]\displaystyle{ M=R_\theta \in \mathbf {SO} (\mathbb R^3) }[/math]이면, determinant가 1이고 inverse의 transpose가 그 자신이므로

[math]\displaystyle{ (R_\theta\mathbf a)\times (R_\theta\mathbf b) = R_\theta(\mathbf a \times \mathbf b) }[/math]

이 성립한다.

벡터곱과 영공간

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \mathbf a ^ \mathsf T \\ \mathbf b ^ \mathsf T \end{pmatrix} (\mathbf a \times \mathbf b) = \begin{pmatrix} \mathbf a \cdot (\mathbf a \times \mathbf b) \\ \mathbf b \cdot (\mathbf a \times \mathbf b) \end{pmatrix} = \mathbf 0 }[/math]이므로,

[math]\displaystyle{ \mathbf a \times \mathbf b \in \operatorname{ker} \begin{pmatrix} \mathbf a ^ \mathsf T \\ \mathbf b ^ \mathsf T \end{pmatrix} }[/math]

이다.

참고문헌

• Why is cross product only defined in 3 and 7 dimensions? - math.SE