벡터곱

틀:학술틀:토막글 벡터곱(vector product), 크로스곱(cross product), 또는 벡터의 외적은 0, 1, 3, 7차원에서만 정의되는 벡터간의 이항연산이다. 벡터곱은 분배법칙이 성립하고 반교환적이며, 결합법칙이 성립하지 않는다. 기하학적으로 외적의 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이를 뜻하며, 이를 강조하기 위하여 유향면적곱(directed area product)이라고도 한다.

방향이 정해진 벡터 공간에서, 두 벡터 [math]\displaystyle{ \mathbf u, \; \mathbf v }[/math]의 벡터곱은 [math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta \; \hat{\mathbf n} = \sqrt{\|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| - \left\lt \mathbf u, \mathbf v\right\gt ^2} \; \hat{\mathbf n} }[/math]으로 정의된다. 이때, [math]\displaystyle{ \theta }[/math]는 두 벡터 사이의 각이고, [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf n} }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbf u, \; \mathbf v }[/math]에 수직인 단위벡터 중 오른손 법칙을 따르도록 결정된 것이다.

3차원에서의 벡터곱

3차원 유클리드 공간에서, 두 벡터 u, v의 벡터곱은 다음과 같다:

[math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = \left|\begin{matrix}\mathbf e_1 &\mathbf e_2 &\mathbf e_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3\end{matrix} \right| =\left({\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{3}&u_{1}\\v_{3}&v_{1}\end{vmatrix}}, \; {\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}\right). }[/math]

증명은 단순 계산이므로 생략. 이에 따르면, 3차원 유클리드 공간의 표준기저의 벡터곱은

[math]\displaystyle{ \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 = -\mathbf e_2 \times \mathbf e_1 = \mathbf e_3, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf e_2 \times \mathbf e_3 = -\mathbf e_3 \times \mathbf e_2 = \mathbf e_1, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf e_3 \times \mathbf e_1 = -\mathbf e_1 \times \mathbf e_3 = \mathbf e_2 }[/math]

가 된다.

성질

기본적인 성질

• 반교환적: [math]\displaystyle{ \mathbf u \times \mathbf v = -\mathbf v \times \mathbf u. }[/math]
• 분배법칙: [math]\displaystyle{ \mathbf u \times (\mathbf v+\mathbf w) =\mathbf u \times \mathbf v+\mathbf u \times \mathbf w. }[/math]
• 스칼라곱과의 호환성: [math]\displaystyle{ (r\mathbf u) \times \mathbf v =r(\mathbf u \times \mathbf v)=\mathbf u\times(r \mathbf v)=r\mathbf u \times \mathbf v. }[/math]
• 야코비 항등식: [math]\displaystyle{ \sum_{\text{cyc}}\mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) = \mathbf u \times (\mathbf v \times \mathbf w) +\mathbf v \times (\mathbf w \times \mathbf u) + \mathbf w \times (\mathbf u \times \mathbf v) = \mathbf 0. }[/math]
• 결합법칙이 성립하지 않는다.
• 소거법칙](cancellation law)이 성립하지 않는다. 즉 [math]\displaystyle{ \mathbf u \times (\mathbf v - \mathbf w) = 0, \; \mathbf u \ne \mathbf 0 }[/math]이라고 해도 [math]\displaystyle{ \mathbf v = \mathbf w }[/math]인 것이 아니다. 하지만 [math]\displaystyle{ \mathbf u \cdot (\mathbf v - \mathbf w) = 0 }[/math]라는 조건이 더 주어지면 [math]\displaystyle{ \mathbf v = \mathbf w }[/math]이다.

벡터곱의 크기: 평행사변형의 넓이

벡터곱의 크기 [math]\displaystyle{ \|\mathbf u \times \mathbf v \| = \|\mathbf u\|\,\|\mathbf v\| \sin \theta }[/math]는 두 벡터의 시점을 일치시켰을 때 만들어지는 평행사변형(또는 선분)의 넓이를 의미한다. 비슷하게, 두 벡터가 만드는 삼각형의 넓이는 이의 절반인 [math]\displaystyle{ \frac 1 2 \|\mathbf u \times \mathbf v \| }[/math]가 된다. 이는 신발끈 정리와 같다.

스칼라 삼중적: 평행육면체의 넓이

세 벡터 스칼라 삼중적(scalar triple product)은 다음과 같이 정의된다: [math]\displaystyle{ \mathbf u \cdot \mathbf v \times \mathbf w = [\mathbf {uvw}] := \mathbf u \cdot (\mathbf v \times \mathbf w) = \left|\begin{matrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{matrix} \right| = | \mathbf u \; \mathbf v \; \mathbf w |. }[/math]

참고문헌

• Why is cross product only defined in 3 and 7 dimensions? - math.SE