범주 편집하기

{{다른 뜻|범주 (동음이의)}}
[[수학]]에서, '''범주'''(category, {{ㅊ|줄여서 cat}})는 특별한 집합과 연산을 추상화한 [[대수적 구조]]를 한번 더 추상화한 것이다. 모든 대수적 구조에 공통적으로 나타나는 '집합들'('''object''')과 '함수들'('''morphism''')<ref>모든 category가 집합을 object로 가지고 함수들을 morphism으로 가지는 것은 '''아니다'''. 이런 category를 '''concrete category'''라고 한다. 하단 참조.</ref>을 가지고 있으며, 이 범주들 사이에 주어진 대응인 [[함자]]('''functors''')와 그 함자들 사이의 [[자연 변환]]('''natural transformation''')이 있다. Functors와 natural transformations는 다시 category를 이룬다.

범주론의 창시자인 Eilenberg와 Mac Lane에 따르면, category는 functor 때문에 만들었고, functor는 natural transformation 때문에 만들었다고 한다.<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 18</ref> Mac Lane은 category theory의 아이디어를 [[homology]]의 공리화 과정에서 얻었다고 한다.

== 정의 ==
'''범주'''(category)<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 10</ref>는 '''메타-범주'''(metacategory)의 집합론적 표현이다. 더 자세하게는 category는 [[항등함수]](identity)와 [[함수의 합성]](composition)을 가진 '''유향 그래프'''(directed graph, 또는 '''diagram scheme''')이다. 즉, category <math>\mathcal C</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다:
* 모든 '''대상'''(object)들의 [[모임 (수학)|모임]](class) <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 c'''∈'''C로 썼다.</ref>
* 모든 '''화살표'''(arrow, 또는 morphism, map)들의 모임(class) <math>\operatorname{hom}(\mathcal C) = \bigcup_{a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)} \operatorname{hom}(a, b)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 f '''in''' C로 썼다.</ref>
* [[정의역]] 연산자 <math>\operatorname{dom}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C)  \to \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>
* [[공역]] 연산자 <math>\operatorname{cod}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C)  \to \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>
** 정의역이 <math>a</math>, 공역이 <math>b</math>인 화살표를 <math>f: \; a \to b</math>로 표기하고, class <math>\operatorname{hom}(a, b) = \{ f \in \operatorname{hom}(\mathcal C): \; \operatorname{dom} f = a, \; \operatorname{cod} f = b \}</math>로 정의한다.
** '''합성 가능한 짝'''(composable pair)들의 모임 <math>\operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) = \{ (g, f): \; \operatorname{dom} g = \operatorname{cod} f\}</math>
* [[합성]] 연산자 <math>\circ: \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) </math>
** 합성 연산은 [[결합법칙]]을 만족해야 한다. 즉, 다음 그림이 [[가환 그림|가환]]해야 한다.
<div align="center">[[파일:AssociativityCD.png|Associativity of composition.|300px]]</div>
* [[항등함수]] 연산자 <math>\operatorname{id}_\bullet: \operatorname{ob}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) </math>
** 항등함수는 합성 연산에 대한 항등원으로 작용해야 한다. 즉, 다음 그림이 가환해야 한다.
<div align="center">[[파일:IdentityCD.png|Identity.|200px]]</div>

== 작은 범주와 큰 범주 ==
* <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 <math>\operatorname{hom}(\mathcal C)</math>이 모두 [[집합]]일 때, <math>\mathcal C</math>는 '''작은 범주'''(small category)라고 한다.
* 작은 범주가 아니면 '''큰 범주'''(large category)라고 한다.
** 큰 범주 중에서, 모든 <math>a, b\in \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대해 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>가 집합일 때, <math>\mathcal C</math>는 '''국소적으로 작은 범주'''(locally small category)라고 한다. 여기서 '국소적'은 전체 morphism들의 모임이 아닌 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 보았을 때를 의미하는 것이다. 이때 각각의 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 '''homset'''이라고 한다.
Large category는 상대적으로 다루기가 어렵다. 그래도 locally small이면 그나마 나은 편이다. 많은 수학적으로 의미 있는 category들은 locally small이다.

== Dual ==
{{참조|쌍대 (범주론)}}
범주 <math>\mathcal C</math>의 '''범주론적 쌍대'''(categorical dual) 또는 '''반대 범주'''(opposite category) <math>\mathcal C^\mathrm{op}</math>는 화살표의 방향을 모두 거꾸로 한 category를 말한다.

== 범주의 예 ==

== 범주의 곱과 극한 ==

{{주석}}
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 == Dual ==
-{{참고|쌍대 (범주론)}}
+{{참조|쌍대 (범주론)}}
 범주 <math>\mathcal C</math>의 '''범주론적 쌍대'''(categorical dual) 또는 '''반대 범주'''(opposite category) <math>\mathcal C^\mathrm{op}</math>는 화살표의 방향을 모두 거꾸로 한 category를 말한다.
 == 범주의 예 ==
-{| class="wikitable"
-|+자주 쓰이는 국소적으로 작은 구체적 범주의 예
-!범주
-!설명
-!대상
-!사상
-|-
-|'''Set'''
-|집합 범주
-|[[집합]]
-|[[함수]]
-|-
-|'''Grp'''
-|군 범주
-|[[군 (수학)|군]]
-|군 [[준동형]]
-|-
-|'''Mag'''
-|마그마 범주
-|[[마그마 (대수)|마그마]]
-|마그마 준동형
-|-
-|'''Ring'''
-|환 범주
-|[[환 (수학)|환]]
-|환 준동형
-|-
-|''R'''''-Mod''' (또는 '''Mod'''(''R''), '''Mod'''<sub>''R''</sub>)
-|''R''-모듈(가군)의 범주. 이때 ''R''∈ob('''Ring''')이다.
-|''R''-[[모듈 (수학)|모듈]]
-|모듈 준동형
-|-
-|'''Top'''
-|위상공간 범주
-|[[위상공간]]
-|[[연속함수#위상수학에서|연속함수]]
-|-
-|''k'''''-Vect''' (또는 '''Vect'''(''k''), '''Vect'''<sub>''k'')</sub>)
-|[[체 (수학)|''k'']]-벡터공간의 범주. ''k''-모듈의 범주의 부분범주이다.
-|''k''-[[벡터공간]]
-|''k''-[[선형사상]]
-|-
-|'''Man'''<sup>''n''</sup>
-|''n''-급 다양체의 범주
-|''n''-급 [[다양체]]
-|''n''-급 함수 (''C''<sup>''n''</sup>)
-|-
-|'''Met'''
-|거리공간 범주
-|[[거리공간]]
-|[[짧은 사상]] (약한 축소 사상)
-|-
-|'''Uni'''
-|균등공간 범주
-|[[균등공간]]
-|[[균등연속]] 함수
-|}
-함자 <math>F: \; \mathcal C \to \mathcal D</math>들을 하나의 대상으로 보는 범주인 [[함자 범주]](functor category) <math>\mathbf{Fct}(\mathcal C, \; \mathcal D) =[\mathcal C, \; \mathcal D]= \mathcal D ^ {\mathcal C}</math>도 있다.
-또한 '''Set'''으로의 [[반변 함자]] <math>\tilde F: \; \mathcal C \to \mathbf{Set}</math>(즉 (공변) 함자 <math>\tilde F: \; \mathcal C^{\mathrm {op}} \to\mathbf{Set}</math>)들을 모아 놓은 범주인 <math>\mathcal C^{\wedge} =[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathbf{Set}]</math>는 [[준층]](presheaf)들의 모임이 된다. <math>[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathcal D]</math>의 대상을 <math>\mathcal D</math>-valued 준층이라고 하기도 한다.
-== 구체적 범주와 추상적 범주 ==
 == 범주의 곱과 극한 ==