로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!{{다른 뜻|범주 (동음이의)}} [[수학]]에서, '''범주'''(category, {{ㅊ|줄여서 cat}})는 특별한 집합과 연산을 추상화한 [[대수적 구조]]를 한번 더 추상화한 것이다. 모든 대수적 구조에 공통적으로 나타나는 '집합들'('''object''')과 '함수들'('''morphism''')<ref>모든 category가 집합을 object로 가지고 함수들을 morphism으로 가지는 것은 '''아니다'''. 이런 category를 '''concrete category'''라고 한다. 하단 참조.</ref>을 가지고 있으며, 이 범주들 사이에 주어진 대응인 [[함자]]('''functors''')와 그 함자들 사이의 [[자연 변환]]('''natural transformation''')이 있다. Functors와 natural transformations는 다시 category를 이룬다. 범주론의 창시자인 Eilenberg와 Mac Lane에 따르면, category는 functor 때문에 만들었고, functor는 natural transformation 때문에 만들었다고 한다.<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 18</ref> Mac Lane은 category theory의 아이디어를 [[homology]]의 공리화 과정에서 얻었다고 한다. == 정의 == '''범주'''(category)<ref>S. Mac Lane, "Categories for the Working Mathematician", Springer (1970), p. 10</ref>는 '''메타-범주'''(metacategory)의 집합론적 표현이다. 더 자세하게는 category는 [[항등함수]](identity)와 [[함수의 합성]](composition)을 가진 '''유향 그래프'''(directed graph, 또는 '''diagram scheme''')이다. 즉, category <math>\mathcal C</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다: * 모든 '''대상'''(object)들의 [[모임 (수학)|모임]](class) <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 c'''∈'''C로 썼다.</ref> * 모든 '''화살표'''(arrow, 또는 morphism, map)들의 모임(class) <math>\operatorname{hom}(\mathcal C) = \bigcup_{a, b \in \operatorname{ob}(\mathcal C)} \operatorname{hom}(a, b)</math>.<ref>Mac Lane은 간단히 f '''in''' C로 썼다.</ref> * [[정의역]] 연산자 <math>\operatorname{dom}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C)</math> * [[공역]] 연산자 <math>\operatorname{cod}: \; \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{ob}(\mathcal C)</math> ** 정의역이 <math>a</math>, 공역이 <math>b</math>인 화살표를 <math>f: \; a \to b</math>로 표기하고, class <math>\operatorname{hom}(a, b) = \{ f \in \operatorname{hom}(\mathcal C): \; \operatorname{dom} f = a, \; \operatorname{cod} f = b \}</math>로 정의한다. ** '''합성 가능한 짝'''(composable pair)들의 모임 <math>\operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) = \{ (g, f): \; \operatorname{dom} g = \operatorname{cod} f\}</math> * [[합성]] 연산자 <math>\circ: \operatorname{hom}(\mathcal C) \times_O \operatorname{hom}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) </math> ** 합성 연산은 [[결합법칙]]을 만족해야 한다. 즉, 다음 그림이 [[가환 그림|가환]]해야 한다. <div align="center">[[파일:AssociativityCD.png|Associativity of composition.|300px]]</div> * [[항등함수]] 연산자 <math>\operatorname{id}_\bullet: \operatorname{ob}(\mathcal C) \to \operatorname{hom}(\mathcal C) </math> ** 항등함수는 합성 연산에 대한 항등원으로 작용해야 한다. 즉, 다음 그림이 가환해야 한다. <div align="center">[[파일:IdentityCD.png|Identity.|200px]]</div> == 작은 범주와 큰 범주 == * <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 <math>\operatorname{hom}(\mathcal C)</math>이 모두 [[집합]]일 때, <math>\mathcal C</math>는 '''작은 범주'''(small category)라고 한다. * 작은 범주가 아니면 '''큰 범주'''(large category)라고 한다. ** 큰 범주 중에서, 모든 <math>a, b\in \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대해 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>가 집합일 때, <math>\mathcal C</math>는 '''국소적으로 작은 범주'''(locally small category)라고 한다. 여기서 '국소적'은 전체 morphism들의 모임이 아닌 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 보았을 때를 의미하는 것이다. 이때 각각의 <math>\operatorname{hom}(a, b)</math>를 '''homset'''이라고 한다. Large category는 상대적으로 다루기가 어렵다. 그래도 locally small이면 그나마 나은 편이다. 많은 수학적으로 의미 있는 category들은 locally small이다. == Dual == {{참고|쌍대 (범주론)}} 범주 <math>\mathcal C</math>의 '''범주론적 쌍대'''(categorical dual) 또는 '''반대 범주'''(opposite category) <math>\mathcal C^\mathrm{op}</math>는 화살표의 방향을 모두 거꾸로 한 category를 말한다. == 범주의 예 == {| class="wikitable" |+자주 쓰이는 국소적으로 작은 구체적 범주의 예 !범주 !설명 !대상 !사상 |- |'''Set''' |집합 범주 |[[집합]] |[[함수]] |- |'''Grp''' |군 범주 |[[군 (수학)|군]] |군 [[준동형]] |- |'''Mag''' |마그마 범주 |[[마그마 (대수)|마그마]] |마그마 준동형 |- |'''Ring''' |환 범주 |[[환 (수학)|환]] |환 준동형 |- |''R'''''-Mod''' (또는 '''Mod'''(''R''), '''Mod'''<sub>''R''</sub>) |''R''-모듈(가군)의 범주. 이때 ''R''∈ob('''Ring''')이다. |''R''-[[모듈 (수학)|모듈]] |모듈 준동형 |- |'''Top''' |위상공간 범주 |[[위상공간]] |[[연속함수#위상수학에서|연속함수]] |- |''k'''''-Vect''' (또는 '''Vect'''(''k''), '''Vect'''<sub>''k'')</sub>) |[[체 (수학)|''k'']]-벡터공간의 범주. ''k''-모듈의 범주의 부분범주이다. |''k''-[[벡터공간]] |''k''-[[선형사상]] |- |'''Man'''<sup>''n''</sup> |''n''-급 다양체의 범주 |''n''-급 [[다양체]] |''n''-급 함수 (''C''<sup>''n''</sup>) |- |'''Met''' |거리공간 범주 |[[거리공간]] |[[짧은 사상]] (약한 축소 사상) |- |'''Uni''' |균등공간 범주 |[[균등공간]] |[[균등연속]] 함수 |} 함자 <math>F: \; \mathcal C \to \mathcal D</math>들을 하나의 대상으로 보는 범주인 [[함자 범주]](functor category) <math>\mathbf{Fct}(\mathcal C, \; \mathcal D) =[\mathcal C, \; \mathcal D]= \mathcal D ^ {\mathcal C}</math>도 있다. 또한 '''Set'''으로의 [[반변 함자]] <math>\tilde F: \; \mathcal C \to \mathbf{Set}</math>(즉 (공변) 함자 <math>\tilde F: \; \mathcal C^{\mathrm {op}} \to\mathbf{Set}</math>)들을 모아 놓은 범주인 <math>\mathcal C^{\wedge} =[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathbf{Set}]</math>는 [[준층]](presheaf)들의 모임이 된다. <math>[\mathcal C^{\mathrm {op}},\; \mathcal D]</math>의 대상을 <math>\mathcal D</math>-valued 준층이라고 하기도 한다. == 구체적 범주와 추상적 범주 == == 범주의 곱과 극한 == {{주석}} [[분류:범주론| ]][[분류:대수학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:다른 뜻 (원본 보기) (준보호됨)틀:주석 (편집) 틀:참고 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)