뫼비우스 변환 편집하기

[[복소평면]]에서 정의된 [[함수]] ''f''에 대해
: <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>
이고 <math>ad-bc\ne 0</math>이면<ref>''f''가 [[상수함수]]가 되지 않도록 한다.</ref> ''f''를 '''뫼비우스 변환'''(Möbius transformation)이라고 한다.

== 예시 ==
* 평행이동(translation)
*: <math>f(z)=z+c</math> (단, <math>c\in\mathbb{C}</math>는 상수)
* 회전(rotation)
*: <math>f(z)=e^{i\phi}z</math> (단, <math>\phi\in\mathbb{R}</math>는 상수)
* 확대(magnification)
*: <math>f(z)=\rho z</math> (단, <math>\rho\in\mathbb{R}</math>는 상수)
* 선형변환(linear transformation)<ref>임의의 <math>\mathbf{u},\mathbf{v}\in V</math>와 <math>c\in F</math>에 대해
: <math>L(c\mathbf{u})=cL(\mathbf{u})</math>
: <math>L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v})</math>
인, 우리가 알던 [[일차변환]] ''L''이 아니다! 게다가 뫼비우스 변환 자체를 선형변환이라고 쓰는 사람들도 있다고 한다. Saff, E. B.; Snider, A. D. (2003), ''Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics'' (3rd ed.), Prentice Hall, {{ISBN|0139078746}}</ref>
*: <math>f(z)=az+b</math> (단, <math>a,b\in\mathbb{C}</math>는 상수)
* 반전(inversion)
*: <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>

일반적으로, <math>c=0</math>이면 뫼비우스 변환은 선형변환과 같으며, <math>c\ne 0</math>이면 <math>f(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math>는
: <math>f(z)=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cz+d}</math>
이므로 선형변환, 반전, 선형변환의 합성
: <math>z\mapsto cz+d \mapsto \frac{1}{cz+d} \mapsto \frac{a}{c}-\frac{b-\frac{ad}{c}}{cz+d}</math>
으로 나타낼 수 있다.

== 예시 ==

{{각주}}
[[분류:복소해석학]]