- [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{az+b}{cz+d} }[/math]
이고 [math]\displaystyle{ ad-bc\ne 0 }[/math]이면[1] f를 뫼비우스 변환(Möbius transformation)이라고 한다.
특수한 경우[편집 | 원본 편집]
- 평행이동(translation)
- [math]\displaystyle{ f(z)=z+c }[/math] (단, [math]\displaystyle{ c\in\mathbb{C} }[/math]는 상수)
- 회전(rotation)
- [math]\displaystyle{ f(z)=e^{i\phi}z }[/math] (단, [math]\displaystyle{ \phi\in\mathbb{R} }[/math]는 상수)
- 확대(magnification)
- [math]\displaystyle{ f(z)=\rho z }[/math] (단, [math]\displaystyle{ \rho\in\mathbb{R} }[/math]는 상수)
- 선형변환(linear transformation)[2]
- [math]\displaystyle{ f(z)=az+b }[/math] (단, [math]\displaystyle{ a,b\in\mathbb{C} }[/math]는 상수)
- 반전(inversion)
- [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{z} }[/math]
일반적으로, [math]\displaystyle{ c=0 }[/math]이면 뫼비우스 변환은 선형변환과 같으며, [math]\displaystyle{ c\ne 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{az+b}{cz+d} }[/math]는
- [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{a}{c}+\frac{b-\frac{ad}{c}}{cz+d} }[/math]
이므로 선형변환, 반전, 선형변환의 합성
- [math]\displaystyle{ z\mapsto cz+d \mapsto \frac{1}{cz+d} \mapsto \frac{a}{c}-\frac{b-\frac{ad}{c}}{cz+d} }[/math]
으로 나타낼 수 있다.
예시[편집 | 원본 편집]
각주
- ↑ f가 상수함수가 되지 않도록 한다.
- ↑ 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{u},\mathbf{v}\in V }[/math]와 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해
- [math]\displaystyle{ L(c\mathbf{u})=cL(\mathbf{u}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ L(\mathbf{u}+\mathbf{v})=L(\mathbf{u})+L(\mathbf{v}) }[/math]