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[[페르마의 소정리]]에 의해, <math>\displaystyle 2^{q-1}\equiv1\pmod q</math>이므로, <math>\displaystyle q\mid2^{q-1}-1</math>이다. <math>\displaystyle q\mid2^p-1</math>이기도 하므로, <math>\displaystyle q\mid\gcd\left(2^{q-1}-1,2^p-1\right)</math>이다. 한편, <math>\displaystyle \gcd\left(2^{q-1}-1,2^p-1\right)=2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1</math>이다.<ref><math>\displaystyle \gcd\left(2^a-1,2^b-1\right)=2^{\gcd\left(a,b\right)}-1</math>임을 [[유클리드 호제법]]을 사용하여 보일 수 있다.</ref> 따라서, <math>\displaystyle q\mid2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1</math>이다. 그런데 <math>\displaystyle p</math>가 소수이므로, <math>\displaystyle \gcd\left(q-1,p\right)</math>은 1 또는 <math>\displaystyle p</math>이다. 만약 <math>\displaystyle \gcd\left(q-1,p\right)=1</math>이라면, <math>\displaystyle q\mid2^{\gcd\left(q-1,p\right)}-1=2^1-1=1</math>이므로, <math>\displaystyle q</math>가 소수라는 가정에 모순된다. 따라서 <math>\displaystyle \gcd\left(q-1,p\right)=p</math>이고, <math>\displaystyle p\mid q-1</math>이다. 곧, 적당한 양의 [[정수]] <math>\displaystyle m</math>에 대해 <math>\displaystyle q-1=mp</math>이다. <math>\displaystyle q</math>가 홀수이므로,<ref><math>\displaystyle M_p</math>는 홀수이므로 2를 소인수로 가질 수 없다.</ref> <math>\displaystyle q-1</math>은 짝수이고, <math>\displaystyle p</math>는 홀수이므로, <math>\displaystyle m</math>은 짝수여야 한다. 즉, 적당한 양의 정수 <math>\displaystyle k</math>에 대해 <math>\displaystyle q=mp+1=2kp+1</math>이다. 마지막으로, <math>\displaystyle M_p</math>의 약수는 <math>\displaystyle M_p</math>의 적당한 소인수들의 곱이고, 임의의 소인수는 <math>\displaystyle 2kp+1</math>의 형태이므로, 저 형태를 가진 소인수를 곱한 임의의 약수도 같은 형태이다. #* 예를 들어, 370052357은 소수이고 88940026013534293337은 <math>\displaystyle 2^{370052357}-1</math>의 약수인데, <math>\displaystyle 88940026013534293337=2\cdot 120172219324\cdot 370052357+1</math>임을 확인할 수 있다. #<math>n</math>이 홀수일 때, <math>M_n</math>의 약수를 8로 나눈 나머지는 1 또는 7이다. (이때 <math>n</math>이 소수일 필요는 없다) #*'''증명''': <math>M_n</math>의 소인수 <math>q</math>를 가정하자. 그러면 <math>\displaystyle 2^n \equiv 1 \pmod q</math>가 성립한다. 여기서 양변에 2를 곱하면 <math>\displaystyle 2^{n+1} \equiv 2 \pmod q</math>이다. 이 식에서 좌변은 2의 지수가 짝수이므로 [[제곱수]]이며, <math>\displaystyle 2^{\frac{n+1}{2}}=x</math>라 하면 <math>\displaystyle x^2 \equiv 2 \pmod q</math>가 된다. 다시 말해 2는 법 <math>q</math>에 대한 [[이차잉여]]이며, 이를 만족하는 <math>q</math>의 조건은 <math>q \equiv \pm 1 \pmod 8</math>이다. 또한 어떤 <math>M_n</math>의 약수 <math>r</math>를 <math>r=q_1 q_2 \cdots q_k</math>와 같이 소인수<math>q_j (1\le j \le k)</math>의 곱으로 쓸 때, <math>q_j \equiv \pm 1 \pmod 8</math>이므로 <math>r \equiv \pm 1 \pmod 8</math>도 성립한다. #* 예: <math>M_{29} = 233 \cdot 1103 \cdot 2289</math> 에서 각 소인수를 8로 나눈 나머지는 각각 1, 7, 1이다. #소수 <math>p</math>가 [[소피 제르맹 소수]]이고 4로 나눈 나머지가 3이면 <math>2p+1</math>은 <math>M_p</math>의 약수이다. #*'''증명''': <math>p</math>가 소피 제르맹 소수이면 <math>2p+1</math>도 소수이다. 또한 <math>p \equiv 3 \pmod 4</math>이면 <math>2p+1 \equiv 7 \pmod 8</math>이므로, 2는 법 <math>2p+1</math>에 대한 이차잉여이다. 즉 [[오일러의 규준]]에 따르면 <math>\displaystyle 2^{\frac{(2p+1)-1}{2}} \equiv 1 \pmod{2p+1}</math>이 성립한다. 간단히 정리하면 <math>\displaystyle 2^p \equiv 1 \pmod{2p+1}</math>이고, <math>\displaystyle 2p+1 \mid 2^p-1</math>을 만족한다. #* 예: <math>\displaystyle 7 \mid M_{3}(=7),\ 23 \mid M_{11},\ 47 \mid M_{23},\ 4007 \mid M_{2003},\ 4079 \mid M_{2039}</math> #* 참고: <math>p</math>가 소피 제르맹 소수이지만 4로 나눈 나머지가 1이면 <math>2p+1</math>은 <math>M_p</math>의 약수가 아니다. 또, 2와 3을 제외한 모든 소피 제르맹 소수는 <math>p=6k-1</math> 형태이므로, 여기에 4로 나눈 나머지가 3이라는 조건이 붙으면 <math>p=12k-1</math> 꼴로 표현된다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț