정의
\(p\)가 3 이상의 소수이고 \(a\)가 \((a,p)=1\)인 정수일 때, 다음 기호
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases} 1,& (\exists x\in \mathbb{Z})[x^2 = a]\\ -1,& (\forall x\in\mathbb{Z})[x^2\ne a] \end{cases} }[/math]
를 르장드르 기호(Legendre symbol)라고 한다. 즉, \(a\)가 법 \(p\)에 대한 이차잉여이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=1\)이고 그렇지 않으면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=-1\)이다.
성질
\(p,q\)가 서로 다른 3 이상의 소수이고 정수 \(a,b\)에 대해 \((a,p)=(b,p)=1\)일 때,
- \(\left(\frac{a^2}{p}\right)=1\)
\(x=a\)는 합동식 \(x^2\equiv a^2\pmod p\)의 해이므로 자명하다.
- \(a\equiv b \pmod p\)이면 \(\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)\)이다.
\(a\equiv b \pmod p\)라고 가정하면 두 합동식 \(x^2\equiv a\pmod p\)와 \(x^2\equiv b\pmod p\)는 동치이므로 원하는 결론을 얻는다.
- \(\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}} \pmod p\)
오일러의 규준에 의해 성립한다.
- \(\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)\)
지수법칙에 의해
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \left(\frac{ab}{p}\right)&=(ab)^{\frac{p-1}{2}}\\ &=a^{\frac{p-1}{2}}b^{\frac{p-1}{2}}\\ &=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) \end{align} }[/math]
이므로 원하는 결론을 얻는다.
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{-1}{p}\right)=\begin{cases} 1,&\text{if }p\equiv 1\pmod 4\\ -1,&\text{if }p\equiv -1\pmod 4 \end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{2}{p}\right)=\begin{cases} 1,&\text{if }p\equiv \pm 1\pmod 8\\ -1,&\text{if }p\equiv \pm 3\pmod 8 \end{cases} }[/math]
- \(p\ge 5\)일 때 [math]\displaystyle{ \left(\frac{3}{p}\right)=\begin{cases} 1,&\text{if }p\equiv \pm 1\pmod{12}\\ -1,&\text{if }p\equiv \pm 5\pmod{12}\\ \end{cases} }[/math]
- \(\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}\) (이차상반성)