로피탈의 정리 편집하기

{{학술}}
{{인용문|대부분의 극한문제를 초토화할 수 있는 궁극의 기술. 개념을 이해하지 않고도 풀 수 있지만 문제가 난잡하거나 실수가 있을 경우엔 계산의 무한 루프에 돌입할 수도 있는 양면성을 지니고 있다. 대부분의 이과생과 학원교사들은 이 기술을 사용하는데 거리낌이 없지만 유독 독학생과 학교 교사들은 이 기술의 사용을 극구 꺼리고 있다. 그러나 그들도 진도의 압박이나 수능에 임박해선 결국 그 편리함과 신속성에 굴복하고 만다.|학교대사전<ref>[http://dic.idoo.net/961 로피탈의 정리]. 2015년 7월 1일에 확인.</ref>}}
== 개요 ==
'''로피탈의 정리'''(L'Hôpital's rule)는 [[요한 베르누이]]가 발견한 정리이지만, 베르누이가 [[기욤 드 로피탈]](Guillaume de l'Hôpital)에게 자신이 발견한 내용을 가르쳐 주었고 로피탈이 자신의 이름으로 발표해도 좋다는 계약을 맺었다. 결국 [[1696년]] 로피탈의 저서 《''Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes''》에서 이 내용이 소개되었고 베르누이의 정리가 아닌 로피탈의 정리로 알려지게 된다.

== 진술 ==
1. [[구간]] <math>\displaystyle (a,b)</math>에서 [[정의]]된 [[미분|미분가능]]한 [[함수]] <math>\displaystyle f,g:(a,b)\to\mathbb{R}</math>에 대해 극한값
: <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>
가 존재한다고 하자.<ref>여기서 <math>\displaystyle a+0</math>을 <math>\displaystyle b-0</math>으로 바꾸어도 정리는 성립한다.</ref> 이때
* <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0</math>이거나
* <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=\infty</math>
이면,
: <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>
이다.

<math>\displaystyle a+0</math>을 <math>\displaystyle \infty</math>로 바꾸어도 로피탈의 정리는 성립한다.

2. 구간 <math>\displaystyle (a,\infty)</math>에서 정의된 미분가능한 함수 <math>\displaystyle f,g:(a,\infty)\to\mathbb{R}</math>에 대해 극한값
: <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>
가 존재한다고 하자. 이때
* <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>이거나
* <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty</math>
이면,
: <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>
이다.

== 증명 ==
임의의 <math>\displaystyle x,\alpha\;(a<\alpha< x)</math>에 대해 함수 <math>\displaystyle f,g</math>는 닫힌 구간 <math>\displaystyle [\alpha,x]</math>에서 연속이고 <math>\displaystyle (\alpha,x)</math>에서 미분가능하므로 [[평균값 정리#코시의 평균값 정리|코시의 평균값 정리]]를 사용할 수 있다. 즉,
: <math>\displaystyle \frac{f(x)-f(\alpha)}{g(x)-g(\alpha)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math>
인 <math>\displaystyle \xi\in(a,x)</math>가 존재한다. 그러면
: <math>\displaystyle f(x)-f(\alpha)=(g(x)-g(\alpha))\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math>
이고 양변을 <math>\displaystyle g(x)</math>로 나누면
: <math>\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(\alpha)}{g(x)}=\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}</math>
이다. 양변에 <math>\displaystyle -l</math>을 더하고 정리하면
: <math>\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}-l=\frac{f(\alpha)}{g(x)}+\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\left(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right)-\frac{g(\alpha)}{g(x)}l</math>
이다. 양변에 [[절댓값]]을 씌우면 [[삼각부등식]]에 의해
: <math>\displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le \left|\frac{f(\alpha)}{g(x)}\right|+\left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|-\left|\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right| |l|</math>
이다.

만약 <math>\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0</math>이면 임의의 <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>에 대해 <math>\displaystyle \delta_f>0,\delta_g>0</math>이 존재해 각각 임의의 <math>\displaystyle \alpha</math>에 대해 <math>\displaystyle 0< \alpha-a < \delta_f,0< \alpha-a<\delta_g</math>이면 <math>\displaystyle |f(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3},|g(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3}</math>이다. 임의의 <math>\displaystyle \varepsilon</math>에 대해 <math>\displaystyle \delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}</math>라 하자. 그러면 <math>\displaystyle 0<\alpha-a<\delta</math>이면 <math>\displaystyle |f(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3},\;|g(\alpha)|<|g(x)|\frac{\varepsilon}{3}</math>이다. 그러면
: <math>\displaystyle \left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|<1+\frac{\varepsilon}{3}</math>
이다. 따라서 <math>\displaystyle a<\alpha< a+\delta</math>이면
: <math>\displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<\frac{\varepsilon}{3}+\left(1+\frac{\varepsilon}{3}\right)\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|+\frac{\varepsilon}{3}</math>
이다.  가정에 의해, 임의의 <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>에 대해 <math>\displaystyle \delta_d>0</math>이 존재해 임의의 <math>\displaystyle \xi</math>에 대해 <math>\displaystyle 0< x-a<\delta_d</math>이면 <math>\displaystyle \left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-l\right|<\frac{\varepsilon}{4}</math>이다. <math>\displaystyle 0< \xi-a< x-a<\delta_d</math>이므로, <math>\displaystyle \left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|<\frac{\varepsilon}{4}</math>이다. 따라서 <math>\displaystyle \delta'=\min\{\delta_d,\delta\}</math>로 두면 <math>\displaystyle a< x< a+\delta'</math>일 때
: <math>\displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)}-l\right|<\frac{\varepsilon}{3}+\left(1+\frac{\varepsilon}{3}\right)\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon</math>
이므로 원하는 결론을 얻는다.<ref>일반성을 잃지 않고 <math>\displaystyle 0<\varepsilon<1</math>로 두면 <math>\displaystyle \varepsilon^2<\varepsilon</math>이기 때문이다.</ref><!-- 나머지 경우 추가바람 -->

== 예시 ==
* <math>\displaystyle \begin{align}
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)&=\lim_{x\to 1}\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}\\
&=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +\frac{x-1}{x}}\\
&=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +1-\frac{1}{x}}\\
&=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}</math>

== 복소함수로 확장 ==
로피탈의 정리는 [[복소수]]체에서 약화된 형태로 확장할 수 있다: 복소함수 <math>\displaystyle f,g</math>가 <math>\displaystyle z_0</math>에서 해석적이고 <math>\displaystyle f(z_0)=g(z_0)=0</math>이고 <math>\displaystyle g'(z_0)\ne 0</math>이면,
: <math>\displaystyle \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)}</math>
이다.

== 대한민국 교육과정 도입 논의 ==
고등학교 수학 교육과정에 로피탈의 정리를 함께 도입함으로써 수능 수리영역 문제를 신속하고 정확하게 풀 수 있다고 주장한 학술지논문이 존재한다. 저자는 고등학생 100명을 로피탈의 정리를 활용하여 문제를 푸는 50명(준거집단)과 기본적인 극한의 성질만 이용해 문제를 푸는 집단(비교집단)으로 나누어 10분 동안 10개의 문제를 풀게 했다. 두 번 테스트한 결과, 준거집단의 성적 평균이 비교집단보다 각각 0.5, 0.7점 높았고, 표준편차는 0.11, 0.07 차이로 근소하게 작았다.<ref>이준호 · 이병무(2003). 로피탈 정리의 활용에 관한 연구. 자연과학연구논문집. Vol.1 No.1. 대구가톨릭대학교 자연과학연구소. pp. 45-53.</ref>

학위논문 중에도 로피탈의 정리를 고등학교 수학 교육과정에 도입하자는 주제를 담은 글이 간간이 올라오곤 한다. 윤찬식(2007)은 로피탈의 정리가 문제해결의 신속성과 정확성을 향상시킬 수 있다는 주장을 펼쳤는데, 이는 이준호 · 이병무(2003)와 비슷하다. 단 기본적인 극한의 성질과 로피탈의 정리를 모두 자유롭게 쓸 수 있도록 한 이준호 · 이병무(2003)와 달리 문제를 기본적인 극한의 성질만 사용해 푼 다음 동일한 문제를 로피탈의 정리만 사용해서 풀도록 제한했다.<ref>윤찬식(2007), "로피탈 정리를 통한 문제 해결 향상성에 관한 분석 및 연구", 학위논문(석사), 부산외국어대학교 교육대학원.</ref><!-- 윤보라(2012) 추가예정 -->

{{각주}}

[[분류:미적분학]]
[[분류:해석학]]
[[분류:수학 정리]]