로피탈의 정리

대부분의 극한문제를 초토화할 수 있는 궁극의 기술. 개념을 이해하지 않고도 풀 수 있지만 문제가 난잡하거나 실수가 있을 경우엔 계산의 무한 루프에 돌입할 수도 있는 양면성을 지니고 있다. 대부분의 이과생과 학원교사들은 이 기술을 사용하는데 거리낌이 없지만 유독 독학생과 학교 교사들은 이 기술의 사용을 극구 꺼리고 있다. 그러나 그들도 진도의 압박이나 수능에 임박해선 결국 그 편리함과 신속성에 굴복하고 만다.
— 학교대사전[1]

1 개요[편집]

로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)는 요한 베르누이가 발견한 정리이지만, 베르누이가 기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)에게 자신이 발견한 내용을 가르쳐 주었고 로피탈이 자신의 이름으로 발표해도 좋다는 계약을 맺었다. 결국 1696년 로피탈의 저서 《Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes》에서 이 내용이 소개되었고 베르누이의 정리가 아닌 로피탈의 정리로 알려지게 된다.

2 진술[편집]

1. 구간 [math]\displaystyle{ \displaystyle (a,b) }[/math]에서 정의미분가능함수 [math]\displaystyle{ \displaystyle f,g:(a,b)\to\mathbb{R} }[/math]에 대해 극한값

[math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

가 존재한다고 하자.[2] 이때

  • [math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0 }[/math]이거나
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=\infty }[/math]

이면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

이다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle a+0 }[/math][math]\displaystyle{ \displaystyle \infty }[/math]로 바꾸어도 로피탈의 정리는 성립한다.

2. 구간 [math]\displaystyle{ \displaystyle (a,\infty) }[/math]에서 정의된 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ \displaystyle f,g:(a,\infty)\to\mathbb{R} }[/math]에 대해 극한값

[math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

가 존재한다고 하자. 이때

  • [math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=0 }[/math]이거나
  • [math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\;\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty }[/math]

이면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math]

이다.

3 증명[편집]

임의의 [math]\displaystyle{ \displaystyle x,\alpha\;(a\lt \alpha\lt x) }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ \displaystyle f,g }[/math]는 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ \displaystyle [\alpha,x] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ \displaystyle (\alpha,x) }[/math]에서 미분가능하므로 코시의 평균값 정리를 사용할 수 있다. 즉,

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{f(x)-f(\alpha)}{g(x)-g(\alpha)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \xi\in(a,x) }[/math]가 존재한다. 그러면

[math]\displaystyle{ \displaystyle f(x)-f(\alpha)=(g(x)-g(\alpha))\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} }[/math]

이고 양변을 [math]\displaystyle{ \displaystyle g(x) }[/math]로 나누면

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(\alpha)}{g(x)}=\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} }[/math]

이다. 양변에 [math]\displaystyle{ \displaystyle -l }[/math]을 더하고 정리하면

[math]\displaystyle{ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}-l=\frac{f(\alpha)}{g(x)}+\left(1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right)\left(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right)-\frac{g(\alpha)}{g(x)}l }[/math]

이다. 양변에 절댓값을 씌우면 삼각부등식에 의해

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le \left|\frac{f(\alpha)}{g(x)}\right|+\left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|-\left|\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right| |l| }[/math]

이다.

만약 [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)=0,\;\lim_{x\to a+0}g(x)=0 }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \displaystyle \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle \delta_f\gt 0,\delta_g\gt 0 }[/math]이 존재해 각각 임의의 [math]\displaystyle{ \displaystyle \alpha }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle 0\lt \alpha-a \lt \delta_f,0\lt \alpha-a\lt \delta_g }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \displaystyle |f(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3},|g(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3} }[/math]이다. 임의의 [math]\displaystyle{ \displaystyle \varepsilon }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle \delta=\min\{\delta_f,\delta_g\} }[/math]라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \displaystyle 0\lt \alpha-a\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \displaystyle |f(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3},\;|g(\alpha)|\lt |g(x)|\frac{\varepsilon}{3} }[/math]이다. 그러면

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left|1-\frac{g(\alpha)}{g(x)}\right|\lt 1+\frac{\varepsilon}{3} }[/math]

이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle a\lt \alpha\lt a+\delta }[/math]이면

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\lt \frac{\varepsilon}{3}+\left(1+\frac{\varepsilon}{3}\right)\left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|+\frac{\varepsilon}{3} }[/math]

이다. 가정에 의해, 임의의 [math]\displaystyle{ \displaystyle \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle \delta_d\gt 0 }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ \displaystyle \xi }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \displaystyle 0\lt x-a\lt \delta_d }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \left|\frac{f'(x)}{g'(x)}-l\right|\lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \displaystyle 0\lt \xi-a\lt x-a\lt \delta_d }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \displaystyle \left|\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}-l\right|\lt \frac{\varepsilon}{4} }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \displaystyle \delta'=\min\{\delta_d,\delta\} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ \displaystyle a\lt x\lt a+\delta' }[/math]일 때

[math]\displaystyle{ \displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)}-l\right|\lt \frac{\varepsilon}{3}+\left(1+\frac{\varepsilon}{3}\right)\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{3}\lt \varepsilon }[/math]

이므로 원하는 결론을 얻는다.[3]

4 예시[편집]

  • [math]\displaystyle{ \displaystyle \begin{align} \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)&=\lim_{x\to 1}\frac{x-1-\ln x}{(x-1)\ln x}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +\frac{x-1}{x}}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{1-\frac{1}{x}}{\ln x +1-\frac{1}{x}}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\\ &=\frac{1}{2} \end{align} }[/math]

5 복소함수로 확장[편집]

로피탈의 정리는 복소수체에서 약화된 형태로 확장할 수 있다: 복소함수 [math]\displaystyle{ \displaystyle f,g }[/math][math]\displaystyle{ \displaystyle z_0 }[/math]에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ \displaystyle f(z_0)=g(z_0)=0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ \displaystyle g'(z_0)\ne 0 }[/math]이면,

[math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f'(z_0)}{g'(z_0)} }[/math]

이다.

6 대한민국 교육과정 도입 논의[편집]

고등학교 수학 교육과정에 로피탈의 정리를 함께 도입함으로써 수능 수리영역 문제를 신속하고 정확하게 풀 수 있다고 주장한 학술지논문이 존재한다. 저자는 고등학생 100명을 로피탈의 정리를 활용하여 문제를 푸는 50명(준거집단)과 기본적인 극한의 성질만 이용해 문제를 푸는 집단(비교집단)으로 나누어 10분 동안 10개의 문제를 풀게 했다. 두 번 테스트한 결과, 준거집단의 성적 평균이 비교집단보다 각각 0.5, 0.7점 높았고, 표준편차는 0.11, 0.07 차이로 근소하게 작았다.[4]

학위논문 중에도 로피탈의 정리를 고등학교 수학 교육과정에 도입하자는 주제를 담은 글이 간간이 올라오곤 한다. 윤찬식(2007)은 로피탈의 정리가 문제해결의 신속성과 정확성을 향상시킬 수 있다는 주장을 펼쳤는데, 이는 이준호 · 이병무(2003)와 비슷하다. 단 기본적인 극한의 성질과 로피탈의 정리를 모두 자유롭게 쓸 수 있도록 한 이준호 · 이병무(2003)와 달리 문제를 기본적인 극한의 성질만 사용해 푼 다음 동일한 문제를 로피탈의 정리만 사용해서 풀도록 제한했다.[5]

7 각주

  1. 로피탈의 정리. 2015년 7월 1일에 확인.
  2. 여기서 [math]\displaystyle{ \displaystyle a+0 }[/math][math]\displaystyle{ \displaystyle b-0 }[/math]으로 바꾸어도 정리는 성립한다.
  3. 일반성을 잃지 않고 [math]\displaystyle{ \displaystyle 0\lt \varepsilon\lt 1 }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \varepsilon^2\lt \varepsilon }[/math]이기 때문이다.
  4. 이준호 · 이병무(2003). 로피탈 정리의 활용에 관한 연구. 자연과학연구논문집. Vol.1 No.1. 대구가톨릭대학교 자연과학연구소. pp. 45-53.
  5. 윤찬식(2007), "로피탈 정리를 통한 문제 해결 향상성에 관한 분석 및 연구", 학위논문(석사), 부산외국어대학교 교육대학원.