라플라스 변환

정의

[math]\displaystyle{ 0\le t\lt \infty }[/math]에서 정의된 함수 f에 대해,

[math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\quad(s\in \mathbb{C}) }[/math]

를 f(t)의 라플라스 변환(Laplace transform)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ s=\sigma+i\omega }[/math]로 두면, ([math]\displaystyle{ \sigma,\omega\in\mathbb{R} }[/math])

[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}|f(t)e^{-\sigma t}|dt \lt \infty }[/math]

일 때 라플라스 변환이 수렴한다.

성질

• 선형성

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(c_1 f_1(t)+c_2f_2(t))=c_1\mathcal{L}(f_1(t))+c_2\mathcal{L}(f_2(t)) }[/math]

• 도함수에 대한 라플라스 변환

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f''(t))=s^2\mathcal{L}(f(t))-sf(0)-f'(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f^{(n)}(t))=s^n\mathcal{L}(f(t))-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) }[/math]

라플라스 변환표

[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f) }[/math]	수렴범위
1	[math]\displaystyle{ \frac{1}{s} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t^p }[/math] (단, p>-1)	[math]\displaystyle{ \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ t^{n-\frac{1}{2}} }[/math] (단, n은 양의 정수)	[math]\displaystyle{ \frac{1\cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2n-1)\sqrt{\pi}}{2^n s^{n+\frac{1}{2}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a}{s^2+a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2+a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t\sin(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{2as}{(s^2+a^2)^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ t\cos(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sinh(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a}{s^2-a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt |a| }[/math]
[math]\displaystyle{ \cosh(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2-a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt |a| }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{at} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{s-a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{at}\sin(bt) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{b}{(s-a)^2+b^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{at}\cos(bt) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]
[math]\displaystyle{ t^n e^{at} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]