라플라스 변환

정의

[math]\displaystyle{ 0\le t\lt \infty }[/math]에서 정의된 함수 f에 대해,

[math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\quad(s\in \mathbb{C}) }[/math]

를 f(t)의 라플라스 변환(Laplace transform)이라 한다.

라플라스 변환의 존재성

라플라스 변환이 언제나 존재하는 것은 아니다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ f(t)=e^{t^2} }[/math]라면

[math]\displaystyle{ F(s)=\int_0^{\infty}e^{t^2-st}dt=\infty }[/math]

이므로 f의 라플라스 변환은 존재하지 않는다. 함수 f에 대해 양수 M, t₀와 실수 α가 존재하여 임의의 t≥t₀에 대해

[math]\displaystyle{ |f(t)|\le M e^{\alpha t} }[/math]

를 만족하면 f는 지수적 차수(exponential order) α를 가진다고 한다. 만약 f가 [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]에서 조각적 연속이고 지수적 차수 α를 가진다면, f의 라플라스 변환은 [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}s \gt \alpha }[/math]에서 존재하고 절대수렴한다.

라플라스 변환의 유일성

[math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{L}(f(t)) }[/math]이면 f(t)를 F(s)의 역라플라스 변환(Inverse laplace transformation)이라고 한다. 역라플라스 변환은 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, 함수 f, g를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ f(t)=e^{-t} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(t)=\begin{cases} e^{-t} & (0\le x \lt 1, 1\lt x\lt \infty)\\ 1 & (x= 1) \end{cases} }[/math]

그러면 [math]\displaystyle{ F(s)=G(s)=\dfrac{1}{s+1} }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ H(s)=\dfrac{1}{s+1} }[/math]인 함수 h는 유일하지 않다. 이 결과는 라플라스 변환을 기껏 정의해놓고서 못 쓰는 건 아닌가 하는 불안을 불러일으킨다. 다행히도, 역라플라스 변환으로 (조각적) 연속함수를 찾는다면 그 연속함수는 유일하기 대문에 걱정하지 않아도 된다. 다시 말하면, 정의역이 [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]인 연속함수 f,g에 대해 [math]\displaystyle{ F(s)=G(s) }[/math]이면 f=g이다. 더 나아가, 정의역이 [math]\displaystyle{ [0,\infty) }[/math]인 조각적 연속함수 f,g에 대해 [math]\displaystyle{ F(s)=G(s) }[/math]이면 불연속인 점을 제외했을 때 f=g이다.

성질

• 선형성

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(c_1 f_1(t)+c_2f_2(t))=c_1\mathcal{L}(f_1(t))+c_2\mathcal{L}(f_2(t)) }[/math]

• 도함수에 대한 라플라스 변환

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f''(t))=s^2\mathcal{L}(f(t))-sf(0)-f'(0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f^{(n)}(t))=s^n\mathcal{L}(f(t))-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) }[/math]

• tⁿ과 함수의 곱에 대한 라플라스 변환

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(t^n f(t))=(-1)^n F^{(n)}(s) }[/math]

• 합성곱에 대한 라플라스 변환

[math]\displaystyle{ (f * g)(t)=\int_0^{\tau} f(\tau)g(t - \tau)d\tau }[/math]일 때,

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}((f * g)(t))=F(s)G(s) }[/math]

라플라스 변환표

[math]\displaystyle{ f(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f) }[/math]	수렴범위
1	[math]\displaystyle{ \frac{1}{s} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t^p }[/math] (단, p>-1)	[math]\displaystyle{ \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t^{n-\frac{1}{2}} }[/math] (단, n은 양의 정수)	[math]\displaystyle{ \frac{1\cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2n-1)\sqrt{\pi}}{2^n s^{n+\frac{1}{2}}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a}{s^2+a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2+a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t\sin(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{2as}{(s^2+a^2)^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ t\cos(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \sinh(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{a}{s^2-a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt |a| }[/math]
[math]\displaystyle{ \cosh(at) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2-a^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt |a| }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{at} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{s-a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{at}\sin(bt) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{b}{(s-a)^2+b^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]
[math]\displaystyle{ e^{at}\cos(bt) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]
[math]\displaystyle{ t^n e^{at} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math]
[math]\displaystyle{ H_c(t) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{e^{-cs}}{s} }[/math]
참고사항. [math]\displaystyle{ H_c(t) }[/math]는 헤비사이드 함수.

라플라스 변환의 활용

미분방정식의 풀이

라플라스는 미분방정식을 푸는 데 유용하다. 미분방정식

[math]\displaystyle{ \frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0 }[/math]

이 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은

[math]\displaystyle{ (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0 }[/math]

이고, 식을 F(s)에 대해 나타내면

[math]\displaystyle{ F(s)=\dfrac{(s+2\beta)f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2} }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ F_1(s),F_2(s) }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ F_1(s)=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ w_0^2\gt \beta^2 }[/math]라고 가정하자. 그러면

[math]\displaystyle{ F_1(s)=f(0)\frac{s+\beta}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=f(0)\mathcal{L}(e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)) }[/math]

[math]\displaystyle{ F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\frac{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\mathcal{L}(e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)) }[/math]

따라서

[math]\displaystyle{ x(t)=f(0)e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\cdot e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t) }[/math]

를 얻는다.어때요, 정말 쉽죠?

이상적분의 계산

라플라스 변환을 이용하면 부정적분이 초등함수로 나타나지 않는 함수의 이상적분을 계산할 수 있다. 이상적분

[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx }[/math]

를 계산해보자. [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{e^{-x}-e^{-2x}}{x} }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ xf(x)=e^{-x}-e^{-2x} }[/math]이다. f의 라플라스 변환을 F(s)라 하면

[math]\displaystyle{ - \frac{dF(s)}{ds}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2} }[/math]

이다. 정리하면

[math]\displaystyle{ F(s)=\ln(s+2)-\ln(s+1) }[/math]

을 얻는다. 따라서

[math]\displaystyle{ \ln(s+2)-\ln(s+1)=F(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx }[/math]

이며, [math]\displaystyle{ s=0 }[/math]을 대입하면

[math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx=\ln 2 }[/math]

를 얻는다.

점화식의 일반항 계산

라플라스 변환을 이용해 점화식으로 주어진 수열의 일반항도 구할 수 있다.

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(a^{\lfloor t \rfloor})=\frac{1-e^{-s}}{s(1-ae^{-s})} }[/math]

임을 이용하여 점화식

[math]\displaystyle{ a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0,\;a_0=0,\;a_1=1 }[/math]

으로 주어진 피보나치 수열의 일반항을 구해보자. 함수 f를

[math]\displaystyle{ f(t)=a_n\quad(n\le t\lt n+1) }[/math]

로 정의하자. 그러면 주어진 점화식은

[math]\displaystyle{ f(t+2)-f(t+1)-f(t)=0 }[/math]

으로 나타낼 수 있다. 이때,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathcal{L}(f(t+2))&=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t+2)dt\\ &=\int_2^{\infty}e^{-s(u-2)}f(u)du\\ &=\int_0^{\infty}e^{-s(u-2)}f(u)du-\int_0^2e^{-s(u-2)}f(u)du\\ &=e^{2s}\mathcal{L}(f(t))-e^{2s}\left(\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s}\right)\\ &=e^{2s}\mathcal{L}(f(t))-\frac{e^s-1}{s} \end{align} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f(t+1))=e^s \mathcal{L}(f(t)) }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathcal{L}(f(t))&=\frac{e^s-1}{s(e^{2s}-e^s-1)}\\ &=\frac{e^s-1}{\sqrt{5}s}\left(\frac{1}{e^s-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{e^s-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-e^{-s}}{s(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2})e^{-s}}-\frac{1-e^{-s}}{s(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2})e^{-s}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\mathcal{L}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)-\mathcal{L}\left(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)\right) \end{align} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) }[/math]

을 얻는다.나는 괄호가 싫어요

같이 보기

• 푸리에 변환