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Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.154-155. ISBN 0387986987</ref> 유수 정리에 의해 : <math>\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds=2\pi i(\operatorname{Res}(ai)+\operatorname{Res}(-ai))</math> 이다. 계산을 열심히 하면 : <math>\operatorname{Res}(ai)=-\frac{1}{2}ite^{iat},\quad \operatorname{Res}(-ai)=\frac{1}{2}ite^{-iat}</math> 이므로 : <math>\begin{align}\int_{\Gamma}e^{ts}F(s)ds&=2\pi i\left(-\frac{1}{2}ite^{iat}+\frac{1}{2}ite^{-iat} \right)\\ &=2\pi i t\left(\frac{e^{iat}-e^{-iat}}{2i}\right)\\ &=2\pi i t\sin at \end{align}</math> 이다. 이 식을 푸리에-멜린 반전공식에 대입하면 : <math>f(t)=t\sin at</math> 를 얻는다. 그런데 이거 라플라스 변환표에 기본적으로 나와있는 것이므로, 꼭 필요한 때가 아니라면 이 문서처럼 쓸데없이 길게 적분하지 말고 변환표 외우자. == 성질 == * 선형성 : <math>\mathcal{L}(c_1 f_1(t)+c_2f_2(t))=c_1\mathcal{L}(f_1(t))+c_2\mathcal{L}(f_2(t))</math> * (고계)도함수 : <math>\mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0)</math> : <math>\mathcal{L}(f''(t))=s^2\mathcal{L}(f(t))-sf(0)-f'(0)</math> : <math>\mathcal{L}(f^{(n)}(t))=s^n\mathcal{L}(f(t))-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)</math> * ''t<sup>n</sup>''과 함수의 곱 : <math>\mathcal{L}(t^n f(t))=(-1)^n F^{(n)}(s)</math> * 적분으로 정의된 함수 : <math>\mathcal{L}\left(\int_0^t f(u)du\right)=\frac{F(s)}{s}</math> * 주기함수 : <math>f(t+T)=f(t)</math>일 때, : <math>\mathcal{L}(f(t))=\dfrac{\int_0^T e^{-st}f(t)dt}{1-e^{sT}}</math> * 합성곱 : <math>(f * g)(t)=\int_0^{\tau} f(\tau)g(t - \tau)d\tau</math>일 때, : <math>\mathcal{L}((f * g)(t))=F(s)G(s)</math> == 라플라스 변환표 ==<!-- 빈 부분을 채워주세요 --> 공업수학에서 필수적으로 이 관련 표가 나온다. 적어도 이 표는 죄다 외워주는게 {{ㅊ|시험보기}} 편하다. {{ㅊ|이걸 어떻게 다 외워? 살려줘~~}} {| class="wikitable" style="background:white;" width="100%" ! <math>f(t)</math> ! <math>\mathcal{L}(f)</math> ! 수렴범위 |- style="text-align:center;" | 1 | <math>\frac{1}{s}</math> | <math>\operatorname{Re} s> 0</math> |- style="text-align:center;" | <math>t^p</math> (단, ''p''>-1) | <math>\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}</math> | <math>\operatorname{Re} s>0</math> |- style="text-align:center;" | <math>\sin(at)</math> | <math>\frac{a}{s^2+a^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s> 0</math> |- style="text-align:center;" | <math>\cos(at)</math> | <math>\frac{s}{s^2+a^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s> 0</math> |- style="text-align:center;" | <math>t\sin(at)</math> | <math>\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s>0</math> |- style="text-align:center;" | <math>t\cos(at)</math> | <math>\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s>0</math> |- style="text-align:center;" | <math>\sinh(at)</math> | <math>\frac{a}{s^2-a^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s> |a|</math> |- style="text-align:center;" | <math>\cosh(at)</math> | <math>\frac{s}{s^2-a^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s> |a|</math> |- style="text-align:center;" | <math>e^{at}</math> | <math>\frac{1}{s-a}</math> | <math>\operatorname{Re} s> a</math> |- style="text-align:center;" | <math>e^{at}\sin(bt)</math> | <math>\frac{b}{(s-a)^2+b^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s> a</math> |- style="text-align:center;" | <math>e^{at}\cos(bt)</math> | <math>\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}</math> | <math>\operatorname{Re} s> a</math> |- style="text-align:center;" | <math>t^n e^{at}</math> (단, ''n''은 자연수) | <math>\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}</math> | <math>\operatorname{Re} s> a</math> |- style="text-align:center;" | <math>H_c(t)</math> (단, c>0) | <math>\frac{e^{-cs}}{s}</math> | |- style="text-align:center;" | <math>\delta_c(t)</math> (단, c>0) | <math>e^{-cs}</math> | |- | colspan=3 | '''참고사항'''. #<math>\Gamma(t)</math>는 [[감마함수]]. #<math>H_c(t)</math>는 [[헤비사이드 함수]]. #<math>\delta_c(t)</math>는 [[디랙 델타 함수]]. |} {{ㅊ|이걸 어떻게 다 외워? 살려줘~~}} == 라플라스 변환의 활용 == === 미분방정식의 풀이 === 라플라스는 미분방정식을 푸는 데 유용하다. 미분방정식 : <math>\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0</math><ref>[[조화 단진자]]의 감쇠진동을 나타나는 [[운동방정식]]이다. Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. p.118. ISBN 9788962183009</ref> 이 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은 : <math> (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0</math> 이고, 식을 ''F(s)''에 대해 나타내면 : <math>F(s)=\dfrac{(s+2\beta)f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}</math> 이다. <math>F_1(s),F_2(s)</math>를 다음과 같이 정의하자. : <math>F_1(s)=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}</math> : <math>F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}</math> <math>w_0^2>\beta^2</math>라고 가정하자. 그러면 : <math>F_1(s)=f(0)\frac{s+\beta}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=f(0)\mathcal{L}(e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t))</math> : <math>F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\frac{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\mathcal{L}(e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t))</math> 따라서 : <math>x(t)=f(0)e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\cdot e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)</math> 를 얻는다.{{ㅊ|어때요, 정말 쉽죠?}} === 이상적분의 계산 === 라플라스 변환을 이용하면 [[부정적분]]이 [[초등함수]]로 나타나지 않는 함수의 [[이상적분]]을 계산할 수 있다. 이상적분 : <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx</math> 를 계산해보자. <math>f(x)=\dfrac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}</math>라 하면 <math>xf(x)=e^{-x}-e^{-2x}</math>이다. ''f''의 라플라스 변환을 F(s)라 하면 : <math> - \frac{dF(s)}{ds}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}</math> 이다. 정리하면 : <math> F(s)=\ln(s+2)-\ln(s+1)</math> 을 얻는다. 따라서 : <math>\ln(s+2)-\ln(s+1)=F(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx</math> 이며, <math>s=0</math>을 대입하면 : <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx=\ln 2</math> 를 얻는다. === 점화식의 일반항 계산 === 라플라스 변환을 이용해 점화식으로 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있다. : <math>\mathcal{L}(a^{\lfloor t \rfloor})=\frac{1-e^{-s}}{s(1-ae^{-s})}</math> 임<ref>Joel L. Schiff (1999). ''The Laplace Transform: Theory and Applications''. Springer. pp.109-110. ISBN 0387986987</ref>을 이용하여 점화식 : <math>a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0,\;a_0=0,\;a_1=1</math> 으로 주어진 [[피보나치 수열]]의 일반항을 구해보자. 함수 ''f''를 : <math>f(t)=a_n\quad(n\le t< n+1)</math> 로 정의하자. 그러면 주어진 점화식은 : <math>f(t+2)-f(t+1)-f(t)=0</math> 으로 나타낼 수 있다. 이때, : <math>\begin{align} \mathcal{L}(f(t+2))&=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t+2)dt\\ &=\int_2^{\infty}e^{-s(u-2)}f(u)du\\ &=\int_0^{\infty}e^{-s(u-2)}f(u)du-\int_0^2e^{-s(u-2)}f(u)du\\ &=e^{2s}\mathcal{L}(f(t))-e^{2s}\left(\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s}\right)\\ &=e^{2s}\mathcal{L}(f(t))-\frac{e^s-1}{s} \end{align}</math> 이고 : <math>\mathcal{L}(f(t+1))=e^s \mathcal{L}(f(t))</math> 이다. 그러므로 : <math>\begin{align} \mathcal{L}(f(t))&=\frac{e^s-1}{s(e^{2s}-e^s-1)}\\ &=\frac{e^s-1}{\sqrt{5}s}\left(\frac{1}{e^s-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{e^s-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-e^{-s}}{s(1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}e^{-s})}-\frac{1-e^{-s}}{s(1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}e^{-s})}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\mathcal{L}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)-\mathcal{L}\left(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)\right) \end{align}</math> 이므로 <math>\bigcup_{m\in\mathbb{N}}(m,m+1)</math>에서<ref><math>0\in \mathbb{N}</math>으로 간주한다.</ref> : <math>f(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{\lfloor t \rfloor}\right)</math> 이고, <math>t=n+\frac{1}{2}</math>을 대입하면 : <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)</math> 을 얻는다.{{ㅊ|나는 괄호가 싫어요}} == 같이 보기 == * [[푸리에 변환]] {{각주}} [[분류:적분변환]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ISBN (원본 보기) (준보호됨)틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:서적 인용 (편집) 틀:책 인용 (편집) 틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)