대칭군

정의

대칭군(Symmetric group)은 함수의 합성을 연산으로 하는, 모든 치환 [math]\displaystyle{ \sigma:\{1,2,\cdots, n\}\to\{1,2,\cdots, n\} }[/math]의 집합으로, S_n으로 나타낸다.

대칭군은 군인가?

대칭군의 원소 [math]\displaystyle{ f,g,h\in S_n }[/math]에 대해,

• 일대일 대응의 합성은 일대일 대응이므로 [math]\displaystyle{ f \circ g\in S_n }[/math]
• 일대일 대응의 합성은 결합법칙이 성립하므로 [math]\displaystyle{ (f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h) }[/math]
• [math]\displaystyle{ e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n\end{pmatrix} }[/math]으로 정의하면 [math]\displaystyle{ f\circ e= e \circ f =f }[/math]이다.
• 일대일 대응의 역함수는 일대일 대응이므로, 임의의 f에 대해 [math]\displaystyle{ f^{-1}\in S_n }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f = e }[/math]이다.

따라서 대칭군은 군이다. 그러나 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않으므로, 대칭군은 일반적으로 아벨군이 아니다.