대수학의 기본 정리: 두 판 사이의 차이

2015년 6월 9일 (화) 22:14 판

개념

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 다항식의 근에 관한 정리이다. 이는 복소수체가 실수체와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, 복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 페르마의 마지막 정리 수준의 이목을 끌었다고 한다.

진술

다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 ~~꼴리는~~ 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:

상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.
[math]\displaystyle{ n }[/math]차 복소계수 다항식은 중근을 고려하여 정확히 [math]\displaystyle{ n }[/math] 개의 근을 갖는다. ([math]\displaystyle{ n\in\Bbb N }[/math])

증명

리우빌의 정리(Liouville’s theorem)을 이용하는 해석적 증명

갈루아 이론을 이용하는 대수학적 증명

대수학적 증명이라고는 하지만 보통 홀수 차수 다항식은 실근을 갖는다는 점을 사이값 정리를 이용하여 증명한 상태에서 시작한다. 이는 유리수에서 실수를 얻는 과정이 본질적으로 대수적이지 않기 때문에 생기는 한계로 보인다. 즉 실수체는 유리수체를 완비시킨 결과이기 때문에, 해의 존재성을 증명함에 있어서도 완비성이 한 번쯤은 들어갈 수밖에 없다는 것이다. 당장 임의의 양의 유리수의 (양의) n제곱근이 존재하는 것을 증명하기 위해서도 완비성이 필요하다.

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 {{학술}}
-'''대수학의 기본 정리'''(fundamental theorem of algebra)는 다항식의 근에 관한 정리이다. 이는 [[복소수|복소수체]]가 [[실수|실수체]]와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다.
+== 개념 ==
+'''대수학의 기본 정리'''(fundamental theorem of algebra)는 다항식의 근에 관한 정리이다. 이는 [[복소수|복소수체]]가 [[실수|실수체]]와 달리 대수적으로 닫힘을 알려준다. 다시 말해, '''복소수 계수로 만든 모든 방정식은 복소수 해가 존재한다'''. 뭐 당연한 거 아닌가 싶겠지만 사실 이거 꽤 신박한 거다. 옛날엔 [[페르마의 마지막 정리]] 수준의 이목을 끌었다고 한다.
 == 진술 ==
-다음 둘은 서로 동치이며, 이 중 하나를 대수학의 기본 정리라 이른다:
+다음 둘은 서로 동치이며, 둘 중 <s>꼴리는</s> 하나를 대수학의 기본 정리라고 한다:
 * 상수 아닌 복소계수 다항식은 하나 이상의 근을 갖는다.