대수기하학

개요

대수기하학(代數幾何學, Algebraic Geometry)은 대수적으로 정의가 가능한 기하학적 다양체(Algebraic Manifold)에 대해 다루는 학문이다. 다시 말해 체(Field)의 n제곱으로 정의된 공간([math]\displaystyle{ F^n }[/math]) 상에서 일변수 혹은 다변수 다항식 [math]\displaystyle{ F[x_1 , x_2 , \cdot\cdot\cdot, x_n ] }[/math]을 이용해서 정의할 수 있는 집합을 이용한다.

미분이 가능한 일반적인 리만 다양체(Rimannian Manifold)를 다루는 미분기하학과는 달리 대수기하학에서는 다항식으로 표현할 수 있는 대상만 다루며, 접근하는 방식도 해석적 방법이 아닌 대수학적인 방법을 주로 사용해서 다룬다. 일반적으로 대수기하학에서는 대수적으로 닫힌 체(Algebraically Closed)인 복소수체에서 전개하는 경우가 많다. 이는 대수적으로 닫힌 체에서는 다항식의 인수분해를 완전하게 정의할 수 있고, 영점정리(Hilbert's Zero Theorem, Nullstellensatz) 등 대수적의 해의 존재성과 관련된 정리들의 상당수가 대수적으로 닫힌 체의 조건을 요구하는 경우가 많기 때문이다.

해석기하학(Analytic Geometry) 그 자체는 대수기하학과 연구하는 목적이 다르나 고등학교 수준에서 다루는 해석기하학(예: 원의 방정식, 이차함수의 그래프 등)은 다항함수에 대해서만 다루는 경우가 많기에 이 대수기하학의 연구범위 안에 들어가게 된다.

역사

대수기하학의 시초는 1600년대에도 있었다. 데카르트가 좌표평면을 생각하고 해석기하학을 만들 때 방정식의 해와 교집 성질을 각각 기하학적, 대수학적으로 생각할 수 있었고, 베주의 정리(Bézout’s theorem)은 아이작 뉴턴도 그 존재를 눈치챘고. 1800년대 초반에는 사영 평면이 어떻게 해서 중요한지 수학자들이 알게 되었고, 실수체보다 복소수체가 대수기하학을 생각하기에 훨씬 좋은 field라는 것도 깨닫게 된다.

그 외에도 클라인은 모든 기하학은 변환의 관점에서 생각해야 한다는 주장을 했고, 이는 대수기하학에 영향을 미친다. 쌍유리 사상을 생각하게 된 건데, 클라인이 생각했던 변환보다 훨씬 더 일반적인 사상이다. 이것이 중요한 이유는 이것으로 대수적 곡선이나 대수 곡면을 분류할 수 있기 때문이다.

20세기를 지나면서 대수기하학은 가환대수학과 엮이게 된다. 전체 공간은 어떤 다항식 환하고 같고, 힐베르트 영점 정리를 생각하면 그 ring의 prime ideal과 어떤 대수기하학의 연구대상 algebraic variety의 subvariety는 서로 대응관계를 가진다. 특히 maximal ideal은 그 algebraic variety의 점들과 대응이 된다. 이를 눈치챈 여러 수학자들. Krull이나 Noether, Zariski는 대수기하학을 가환대수의 언어로 다시 쓰기 시작한다.

19세기 말부터 Italian school of algebraic geometry라는 것이 있었는데, Riemann-Roch theorem이라는 정리에서 시작해서 curve와 surface를 분류하겠다고 나온 곳이 이곳이다. Curve를 genus라는 것을 기준으로 처음으로 분류한 곳도 바로 이곳이고 그 외에도 여러 가지를 분류했는데, 1950년대 이후로 사라지고 말았다. 수학이라면서 너무 직관에만 의존하고 엄밀한 논증을 거치지 않은 것. 예를 들어서 Barth sextic은 65개의 double point를 가지고 있는데, 이곳에선 52개 있다고 해버렸다. (...) 1950년대 이후로 대수기하학은 극도로 엄밀화되고 추상화되는 방향을 거쳤으니 엄밀성과 추상성이 약한 Italian school이 사라지는 것은 어쩌면 당연할 수도 있겠다. 그래도 성과는 있는데, divisor라는 것이 얼마나 유용한지 보여주었다.

1950년대 이후부터 대수기하학은 예전의 직관적이고 기하학적이었던 모습을 벗어 던지고 점점 추상화되었다. 대수기하학이 드디어 수학적인 논증을 기초로 논리를 전개하는 학문이 되었다는 의미도 갖고 있지만 한편으로는 기하학적인 성격을 잃고 점점 대수학에 가까워지는 경향을 띠게 되었다. 실제로 1950년 필즈상 수상자 셀베르그(Selberg)를 비롯한 몇몇 수학자들은 이러한 대수기하학적인 경향에 의문을 가지기도 했다. 여하튼 대수기하학은 Grothendieck을 중심으로 이러한 추상화된 논증을 기초로 하는 학문이 되었고, 점차 스킴(scheme)을 기반으로 가환대수학적으로 논의를 전개하게 되었다. 이러한 점을 활용해서 대수적 정수론(Algebraic Number Theory) 등에서 대수기하학적인 스킬을 사용할 수 있게 되었다.

1960년대 이후부터는 특별한 경향성을 말하기 힘들다. 아벨다양체의 발전, étale cohomology의 등장, Deligne-Mumford stack 등이 으로 알고 있는데 이때부터 대수기하학이 워낙 많은 분야로 갈라졌다고 한다.

대수기하학에서 다루는 개념들

대수기하학을 제대로 이해하기 위해서는 벡터공간과 체론, 그리고 대수적 독립(Algebraically Independent)에 대한 개념을 이해해야 한다. 대학교 학부 수준에서는 상당히 어려운 축에 속한다.

다양체

이와 관련한 주제는 다양체에서 다룹니다.

먼저 k가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면 X가 k 위의 (아핀) 대수집합(Affine Algebraic Variety) 이라는 것은 k[x₁, …, x_n]의 부분집합 S에 대해

X={y=(y₁, …, y_n)|f(y)=0 for all f∈S}

꼴인 집합을 말한다. 이는 S를 포함하는 가장 작은 k[x₁, …, x_n]의 아이디얼 J로 대신해서

X={y=(y₁, …, y_n)|f(y)=0 for all f∈J}

로 쓸 수 있고, 따라서 k[x₁, …, x_n]의 아이디얼은 k 위의 대수적 집합(Algebraic set) 하나를 만든다. 이렇게 해서 J로 만들어지는 대수적 집합을 V(J)라고 하자. 그리고 이 대수적 집합은 또 아이디얼을 만드는데, X가 체 k 위의 대수적 집합(이라고 가정하면

I(X)={f∈k[x₁, …, x_n]|f(x)=0 for all x∈X}

는 k[x₁, …, x_n]의 ideal이 된다.

이 대수적 다양체는 벡터공간 kⁿ의 닫힌(closed) 집합이 된다.

힐베르트의 영점 정리

이와 관련한 주제는 힐베르트의 영점 정리에서 다룹니다.

이제 다항식 환 [math]\displaystyle{ k[\mathbb{A}^n] }[/math]의 아이디얼 I에 대해서 근기(根基, Radical)를

√{I}= { x ∈ k[Aⁿ] | ∃r(r ∈ [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] ∧ x^r ∈ I }

로 정의한다. 우선 우리는 정의를 이용하면 V(I)=V(√I)라는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 특히 I가 반소 아이디얼(Semiprime ideal)일 경우는 I=√I가 성립하고, 으뜸 아이디얼(Primary Ideal)일 때에는 √I가 소 아이디얼(Prime Ideal)이 된다. 이것이 중요한 이유는 아래의 힐베르트의 영점정리를 증명할 때 필요한 요소이기 때문이다.

우선 k[Aⁿ]의 부분집합인 대수적 집합X에 대해서 V(I(X)=X인 것은 정의를 이용하면 간단하게 증명된다. 역으로 아이디얼 J에 대해서 I(V(J))의 값을 구하는 질문이 있을 수 있다. 그러나 일반적인 체 k에 대해서는 간단하게 구해지지 않는다. 다만 k가 대수적으로 닫힌 체(Algebraically closed field)일 때에는 다음과 같이 힐베르트 영점 정리(Hilbert's Zero theorem, Nullstellensatz)가 성립한다.

I(V(J))=√J

k가 대수적으로 닫힌 집합이 아니면 이는 성립하지 않는다. 예를 들면 k=R이고 n=1이고 J가 <x²+1>이라면 당연히 V(J)는 공집합이고 힐베르트 영점 정리는 성립하지 않게 된다. 성랍하지 않은 이유를 간단히 요약하면 대수적으로 닫힌 체가 아닌 경우에는 k 상에서 근을 갖지 않는 k[x] 상의 다항식이 존재하는 것으로 표현이 가능하다.

또한 다항식 환 k[x_{1, …, xn]에 대해서 모든 아이디얼 I는 으뜸 아이디얼(Primary Ideal)의 교집합으로 표현할 수 있으며, 특히 반소 아이디얼(semiprime ideal) J는 소 아이디얼(Prime ideal)의 교집합으로 표현이 가능하다.(참조: 위키백과:으뜸 아이디얼) 역으로 어떤 아이디얼의 영점은 그 근기(Radical)의 영점과 동일하며, 따라서 소 아이디얼의 영점의 합집합으로 표현이 가능하다.}

[math]\displaystyle{ \sqrt{J}=\cap_{\mathfrac{p} \rm{prime}} \mathfrak{p}~~ \Leftrightarrow ~~ V(J)=\cup V(\mathfrak{p}) }[/math]

결론적으로 우리는 k가 대수적으로 닫힌 체일 때 대수 다양체라는 기하학적 객체를 대수학적 방법으로 접근해서 표현이 가능해진다.

자리스키 위상

이제 대수적 집합(algebraic set)의 자리스키 위상(Zariski topology)를 정의하는데, X가 algebraic set over k일 때 X의 closed set은 X의 subset이면서 algebraic set인 set을 말한다. 그러니까 X=V(J) for some J일 때 X의 closed set은 적당한 J를 부분집합으로 갖는 J′가 있어서

{x=(x₁, …, x_n)|f(x)=0 for all f∈J′}

꼴이다. 그렇다면 algebraic variety는 X의 closed set Z,Z′가 있어서 X=Z∪Z′라면 Z나 Z′ 중 하나는 공집합인 algebraic set으로 재정의할 수 있다. Zariski topology란 직관적으로 유리함수가 정의되는 정의역이다. Topology를 이용하면 algebraic variety X의 dimension을 정의할 수 있는데, closed set들의 chain

X₁⊂X₂⊂…⊂X_n−1⊂X_n=X

의 최대 길이를 X의 dimension이라고 정의한다. 이는 X에 대응되는 prime ideal p=I(X)로도 정의할 수 있다. 이 정의는 직관적으로 선, 면, 공간, … 이렇게 얼마나 이어질 수 있는지 잰 거라고 생각하면 된다. 일반적인 algebraic set이라면 그 algebraic set의 irreducible closed set들 중에서 dimension이 가장 큰 애의 dimension으로 정의한다. 그리고 dimension 1일 땐 curve, dimension 2일 땐 surface라고 부르자. 예를 들면 k=C일 땐 C 그 자체는 C 위의 curve다.

대수기하학에서 중요한 것들 중 하나는 projective variety인데, 이때도 affine algebraic variety하고 비슷하게 정의한다. 이 땐 homogeneous한 polynomial을 생각하는 것 이외에는 affine algebraic variety하고 정의는 별로 다를 건 없다. 단 point에서 0은 빼주고 서로 상수배 나는 것은 서로 같은 것으로 묶어준다. 그렇다면 이것은 affine algebraic variety들을 여러 개 붙인 것과 똑같게 된다.

대수기하학에선 한 점에 대한 local ring을 자주 생각한다. Affine algebraic variety X over k를 생각하자. 그렇다면 x∈X일 때

O_x,X={f/g|g(x)≠0}

라고 정의한다. 여기에서 f,g는 모두 k[x₁, …, x_n]의 원소다. 이는 direct limit의 언어를 써서 U가 X 위의 open set일 때

O(U)={f/g|g(y)≠0 for all y∈U}

라고 하고 U가 x의 open neighborhood일 때만 생각해서

O_x,X=lim O(U)

라고 정의할 수도 있다. 이것의 유용한 점은 어떤 한 점의 정보를 ring을 통해서 알아낼 수 있다는 것이다. 그리고 이 ring은 maximal ideal이 하나밖에 없고, 그 maximal ideal은 바로 I({x})가 된다. x∈X가 X의 nonsingular point라는 것은 O_x,X가 regular local ring이라는 것으로 정의할 수 있고, X가 curve일 때는 regular local ring이라는 것은 곧 discrete valuation ring임을 뜻하는 것이고 그 valuation은 다른 curve와 그 점에서 얼마나 만나는지 알려주는 parameter 역할을 한다.

스펙트럼과 스킴

Algebraic variety는 유용하지만 algebraically closed field 위에서만 정의되고, 철저히 기하학적 직관으로 쌓인 정의다. Grothendieck는 이런 정의를 바꿨는데, algebraic variety에서 ring의 존재는 algebraic variety를 어떻게 봐야 할 지 알려주는 역할을 한다면 scheme에선 ring을 그냥 여러 개 붙인 것이다.

먼저 R이 commutative ring이라고 하자. 그렇다면 Spec(R)은 R의 모든 prime ideal을 모은 집합으로 정의한다. 이것은 affine algebraic variety의 역할을 하는데, 점 하나가 maximal ideal하고 대응된다면 아예 maximal ideal 자체를 모두 모아버리자는 생각인 것이다. 여기에서 maximal ideal이 아닌 prime ideal까지 같이 모았는데, 그 이유는 ring homomorphism에 의한 maximal ideal의 preimage는 maximal ideal이 아니지만 prime ideal의 preimage는 prime ideal이 되기 때문이다. 또한 prime ideal까지 모은다면 global property를 알아내기 쉽기 때문이기도 하다.

이제 Spec(R)에 topology를 주자. R의 ideal I가 있을 때 I를 부분집합으로 가지는 모든 prime ideal들의 집합을 V(I)라고 하자. 이는 위에서 ideal에 대응되는 algebraic set의 역할을 하는 것이다. 그리고 이것들을 closed set으로 하는 topology를 Zariski topology라고 하자.

Sheaf라는 것은 간단히 말해서 함수들의 모임이다.그리고 여기에선 U가 Spec(R)의 open set일 때

O(U)={s(p)∈R_p|p∈U}

로 정의한다. 여기에서 R_p는 R을 p로 localizing한 것이다. 이는 자연스럽게 Spec(R)의 sheaf가 되며, locally ringed space를 만든다. 그리고 이렇게 만든 것과 isomorphic한 애를 affine scheme이라고 정의한다. scheme은 locally affine scheme으로. 그러니까, 모든 점들에 대해서 적당한 open neighoborhood가 있어서 그 애가 affine scheme일 때.

Affine scheme을 정의할 때 그 sheaf도 같이 정의했는데, 그 sheaf의 stalk와 R의 localization은 정확히 똑같다. 이것의 증명은 반 페이지 정도 되므로 넘긴다 (...)

Grothendieck는 scheme을 볼 때 그 scheme만 보지 않았다. 다른 scheme도 같이 봤다. 그러기 위해선 morphism을 정의해야 하는데, X와 S가 scheme이고 f:X→S가 base가 되는 topological space에 대해서 continuous function일 때 U가 S의 open set이면 이것으로 만들어지는 모든

O_X(f⁻¹ (U))→O_S(U)

에 대해서 이것이 ring homomorphism일 때를 scheme 사이의 morphism이라고 정의하자.

Scheme은 매우 광범위한데, scheme을 이용해서 무한소를 정의할 수도 있다. k가 아무 field라면 Spec(k[x]/x²)로. 이렇게 광범위하게 정의하는 이유는 scheme들을 모은 category가 상당히 좋기 때문이다. Fiber product가 아주 얌전히 정의되고, scheme에 대한 것은 너무나도 간단하게 ring에 대한 것으로 바뀐다. 그리고 위에서도 말했지만, 정수론 같은 완전 다르게 보이는 분야에도 쓸 수 있다!!

원래 Grothendieck는 저것을 scheme이라고 부르지 않고, 조건을 하나 더 추가한 것을 scheme이라고 부르고 지금의 scheme을 prescheme이라고 불렀다. Grothendieck가 불렀던 scheme은 지금은 separeted scheme이라고 부르는데, f:X→Y가 있으면 fiber product의 universal property로

Δ:X→X×_YX

를 정의할 수 있고, 이것이 closed immersion일 때를 f를 separated morphism이라고 부른다. 그리고 Y=Spec(Z)일 때 반드시 모든 scheme은 Y로 가는 유일한 morphism이 있고그 morphism이 separeted morphism일 때 X를 separated scheme이라고 부른다.

교과서

Hartshorne의 algebraic geometry가 좀 많이 유명하다. 하지만 이것은 입문용으론 좀 많이 어렵다. Griffiths의 introduction to algebraic curve를 먼저 보길 바란다. 근데 이책도 엄청 불친절하다 Fulton의 Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry도 좋다. 그 다음엔 Hartshone을 보든 Harris의 algebraic geometry를 보든 아무거나 보면 된다.

사실 기초 교과서들은 (그로텐디크의) 현대적 대수기하학의 기초적 성질 등을 소개해주는 교과서들과 옛날 대수기하학을 다양하게 설명해주는 교과서들로 나뉜다. 전자에 Hartshorne, Vakil, Qing Liu 따위가 속하며 후자에 Griffiths, Fulton 따위가 속한다. 결국 공부할 거면 둘다 봐야 된다.