로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''단조 수렴 정리'''(Monotone Convergence Theorem)란, 어떤 [[수열]]이 위로 [[유계]]이고 단조 증가, 혹은 아래로 유계이고 단조 감소라면 반드시 수렴한다는 수학 정리이다. 먼저 간단히 유계와 단조성에 대해 집고 넘어가자. *모든 [[자연수]] <math>n</math>에 대해 <math>a_n\leq M_1</math>을 만족하는 [[실수]] <math>M_1</math>이 존재하면 수열 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 위로 유계, <math>M_2\leq a_n</math>을 만족하는 실수 <math>M_2</math>가 존재하면 아래로 유계라고 한다. 만약 위로 유계이며 동시에 아래로 유계이면 그냥 유계라고 한다. 식으로 표현하면 적당한 <math>M</math>에 대해 <math>\left|a_n\right|\leq M</math>. *모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>a_n\leq a_{n+1}</math>이 성립하면 단조 증가, 부등호가 반대면 단조 감소라고 한다. 만약 등호가 빠져도 성립한다면 강단조라고 부른다. 이제 본격적인 정리로 들어가자. == 내용 == *<math>\left\{a_n\right\}</math>이 단조 증가하고 위로 유계라면 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 수렴하고 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_na_n</math>. **완비성 공리에 의해 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 최소 상계 <math>L</math>을 가진다. 그럼, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>L-\varepsilon< a_N\leq L</math>을 만족하는 자연수 <math>N</math>이 존재한다. 만약 존재하지 않는다면 <math>L-\varepsilon</math>은 상계가 되고 이는 <math>L</math>이 최소 상계라는 가정에 모순이다. 또한, <math>\left\{a_n\right\}</math>은 단조 증가하므로, <math>n> N</math>인 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>L-\varepsilon< a_N\leq a_n\leq L</math>이 성립하고, 정리하면 <math>\left|a_n-L\right|<\varepsilon</math>이다. [[수열의 극한]]의 정의에 의해 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=L=\sup_na_n</math>이다. *<math>\left\{a_n\right\}</math>이 단조 감소하고 아래로 유계라면 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 수렴하고 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\inf_na_n</math>. **완비성 공리에 의해 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 최대 하계 <math>G</math>를 가진다. 그럼, 임의의 <math>\varepsilon>0</math>에 대해 <math>G\leq a_N< G+\varepsilon</math>을 만족하는 자연수 <math>N</math>이 존재한다. 만약 존재하지 않는다면 <math>G+\varepsilon</math>은 하계가 되고 이는 <math>G</math>가 최대 하계라는 가정에 모순이다. 또한, <math>\left\{a_n\right\}</math>은 단조 감소하므로, <math>n> N</math>인 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>G\leq a_n\leq a_N< G+\varepsilon</math>이 성립하고, 정리하면 <math>\left|a_n-G\right|<\varepsilon</math>이다. [[수열의 극한]]의 정의에 의해 <math>\lim_{n\to\infty}a_n=G=\inf_na_n</math>이다. == 활용 == *모든 <math>i=1,\,2,\,3,\cdots</math>에 대해 <math>d_i</math>를 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9중 한 숫자라고 가정하자. 그럼 수열 {|style=text-align:center align=center |- |<math>a_1=0.d_1</math> |- |<math>a_2=0.d_1d_2</math> |- |<math>a_3=0.d_1d_2d_3</math> |- |<math>\vdots</math> |- |<math>a_n=0.d_1d_2d_3\cdots d_n</math> |- |<math>\vdots</math> |} 은 단조 증가하고 위로 유계이다.<ref>1이 상계</ref> 곧, 수열 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 수렴하고, 그 수렴값은 <math>0.d_1d_2d_3\cdots</math>이다. 이는 실수를 나타내는 방법 중 하나이다. *<math>b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\,\forall n\in\mathbb{N}</math>이라 하자. 그럼 [[이항정리]]에 의해<br /><math>\begin{align*}b_n&=1+n\frac{1}{n}+\cdots+\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k+\cdots+n\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{n}\right)^n\\&=1+\sum_{k=1}^n\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k\end{align*}</math><br />이다. 비슷하게,<br /><math>b_{n+1}=1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{\left(n+1\right)n\cdots\left(n+1-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k</math><br />이다. 한편,<br /><math>\begin{align*}b_{n+1}\text{의 }k\text{번째 항}&=\frac{\left(n+1\right)n\cdots\left(n+1-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k\\&=\frac{n+1}{n+1}\frac{n}{n+1}\cdots\frac{n+1-k+1}{n+1}\frac{1}{k!}\\&=1\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)\frac{1}{k!}\\&\geq1\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\frac{1}{k!}\\&=\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}\frac{1}{k!}\\&=\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k\\&=b_n\text{의 }k\text{번째 항}\end{align*}</math><br />이다. 곧, <math>b_{n+1}\geq b_n</math>이고, 수열 <math>\left\{b_n\right\}</math>은 단조 증가함을 알 수 있다. 한편,<br /><math>\begin{align*}b_n&=1+n\frac{1}{n}+\cdots+\frac{n\left(n-1\right)\cdots\left(n-k+1\right)}{k!}\left(\frac{1}{n}\right)^k+\cdots+n\left(\frac{1}{n}\right)^{n-1}+\left(\frac{1}{n}\right)^n\\&\leq1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{k!}+\cdots+\frac{1}{n!}\\&\leq1+\frac{1}{2^0}+\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\\&=1+\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}\\&<1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3\end{align*}</math><br />이다.<ref>모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>2^{n-1}\leq n!</math>이 성립한다. 증명은 [[수학적 귀납법]]을 사용</ref> 따라서, <math>\left\{b_n\right\}</math>은 위로 유계이고, 단조 수렴 정리에 의해 3을 넘지 않는 값으로 수렴한다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 이 수렴값이 [[자연상수]] <math>e</math>라는 사실을 알 것이다. *폐구간 수렴 정리: [[볼차노-바이어슈트라스 정리]] 항목 참조. *<math>a_n=1-\left(\frac{1}{10}\right)^n</math>이라 하자. 만약 <math>n< m</math>이면, <math>\left(\frac{1}{10}\right)^n>\left(\frac{1}{10}\right)^m</math>이므로, <math>a_n=1-\left(\frac{1}{10}\right)^n<1-\left(\frac{1}{10}\right)^m=a_m</math>이다. 즉, 수열 <math>\left\{a_n\right\}</math>은 단조 증가한다. 또한, 1이 수열의 상계임은 분명하다. 따라서, 단조 수렴 정리에 의해 저 수열은 상한으로 수렴한다. <math>\sup_na_n=l<1</math>이라 가정하자. 그럼 <math>1-l>0</math>이므로, [[아르키메데스 성질]]에 의해 <math>1-l>\left(\frac{1}{10}\right)^k</math>를 만족하는 적당한 [[자연수]] <math>k</math>가 존재한다. 따라서, <math>1-\left(\frac{1}{10}\right)^k> l</math>. 그런데, <math>l</math>은 수열 <math>\left\{a_n\right\}</math>의 상한이므로, 모든 자연수 <math>n</math>에 대해 <math>l\geq1-\left(\frac{1}{10}\right)^n</math>이다. 이는 모순이고, 수열의 상한 <math>l</math>은 1이상이다. 그런데 1이 상계이므로, <math>l=1</math>. **뭘 증명한거냐고 물을 수 있는데, '''<big>0.999...=1</big>'''을 수학적으로 엄밀하게 증명한 것이다. 그러니까 어디가서 0.999...는 1이 아니라고 진지하게 말하고 다니지는 말자. == 관련 항목 == *[[유계]] *[[단조함수]] *[[수열의 극한]] {{각주}} [[분류:해석학]] [[분류:수학 정리]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] 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ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)