정의
V를 체 [math]\displaystyle{ F\;(F=\mathbb{R}\text{ or }\mathbb{C}) }[/math] 위에 주어진 벡터공간이라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot):V\to F }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V }[/math]와 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해
- (1) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{x})\ge 0 }[/math]
- (1a) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{x})=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=0 }[/math]
- (2) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x}+\mathbf{y},\mathbf{z})=(\mathbf{x},\mathbf{z})+(\mathbf{y},\mathbf{z}) }[/math]
- (3) [math]\displaystyle{ (c\mathbf{x},\mathbf{y})=c(\mathbf{x},\mathbf{y}) }[/math]
- (4) [math]\displaystyle{ (\mathbf{x},\mathbf{y})=\overline{(\mathbf{y},\mathbf{x})} }[/math]
을 만족하면 [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math]를 내적(inner product)이라고 한다. 만약 벡터공간에 내적이 주어져 있으면 내적공간(inner product space)이라고 한다.