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[[벡터공간]] <math>V</math>의 원소들 <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>이 선형독립이고 <math>V</math>를 생성할 때, <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>를 <math>V</math>의 '''기저(basis)'''라고 한다. 모든 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. | [[벡터공간]] <math>V</math>의 원소들 <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>이 선형독립이고 <math>V</math>를 생성할 때, <math>\mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n</math>를 <math>V</math>의 '''기저(basis)'''라고 한다. 모든 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. | ||
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<math>V</math>의 기저의 개수를 '''차원(demension)'''이라 하고, <math>\dim V</math>로 나타낸다. | <math>V</math>의 기저의 개수를 '''차원(demension)'''이라 하고, <math>\dim V</math>로 나타낸다. | ||
=== 설명 === | ==== 설명 ==== | ||
기저는 {{ㅊ|서로 직교하는 벡터, 함수를 뜻하고}}<ref>직교라는 개념이 나오려면 내적이 주어져 있어야 하고, 내적공간에서도 모든 기저가 직교기저일 이유는 없다.</ref>, 차원은 직관적으로 그 공간에 정보가 몇 개 있느냐를 말한다. 가령 ''xy''평면에서 ''x''축과 ''y''축이 바로 기저가 된다(정확히는 ''x''축 방향 단위벡터와 ''y''축 방향 단위벡터). ''xy'' 평면 위의 모든 점은 ''x''좌표와 ''y''좌표 두 개의 숫자만으로 다 표현되고, 또 유일하게 표현된다. 만일 다른 정보를 만들 수 있더라도(예를 들어 원점으로부터의 거리), 이는 ''x''좌표와 ''y''좌표로 나타낼 수 있다. 즉 <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>. | 기저는 {{ㅊ|서로 직교하는 벡터, 함수를 뜻하고}}<ref>직교라는 개념이 나오려면 내적이 주어져 있어야 하고, 내적공간에서도 모든 기저가 직교기저일 이유는 없다.</ref>, 차원은 직관적으로 그 공간에 정보가 몇 개 있느냐를 말한다. 가령 ''xy''평면에서 ''x''축과 ''y''축이 바로 기저가 된다(정확히는 ''x''축 방향 단위벡터와 ''y''축 방향 단위벡터). ''xy'' 평면 위의 모든 점은 ''x''좌표와 ''y''좌표 두 개의 숫자만으로 다 표현되고, 또 유일하게 표현된다. 만일 다른 정보를 만들 수 있더라도(예를 들어 원점으로부터의 거리), 이는 ''x''좌표와 ''y''좌표로 나타낼 수 있다. 즉 <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>. | ||
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대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 삼각함수이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 푸리에 변환. | 대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 삼각함수이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 푸리에 변환. | ||
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2015년 6월 4일 (목) 17:51 판
기저'귀'
기저(basis)
단어
어떤 것의 바닥 또는 기초가 되는 부분.
반의어: 표면
수학에서 정의되는 개념
선형대수학에서
정의
벡터공간 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 원소들 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]이 선형독립이고 [math]\displaystyle{ V }[/math]를 생성할 때, [math]\displaystyle{ \mathbf{x} _1,\mathbf{x} _2,\cdots,\mathbf{x} _n }[/math]를 [math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저(basis)라고 한다. 모든 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다.
차원
[math]\displaystyle{ V }[/math]의 기저의 개수를 차원(demension)이라 하고, [math]\displaystyle{ \dim V }[/math]로 나타낸다.
설명
기저는 서로 직교하는 벡터, 함수를 뜻하고[1], 차원은 직관적으로 그 공간에 정보가 몇 개 있느냐를 말한다. 가령 xy평면에서 x축과 y축이 바로 기저가 된다(정확히는 x축 방향 단위벡터와 y축 방향 단위벡터). xy 평면 위의 모든 점은 x좌표와 y좌표 두 개의 숫자만으로 다 표현되고, 또 유일하게 표현된다. 만일 다른 정보를 만들 수 있더라도(예를 들어 원점으로부터의 거리), 이는 x좌표와 y좌표로 나타낼 수 있다. 즉 [math]\displaystyle{ r = \sqrt{x^2 + y^2} }[/math].
그렇다면 무한차원 벡터공간도 존재할 수 있는지 의문을 갖게 된다. 즉 한 벡터를 나타내는 데 정보가 무한히 많이 필요하다는 건데… 당연히 가능하다. 예를 들어 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]벡터공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]이라든가, 함수공간 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\mathbb{R} = \left\{ f|f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \right\} }[/math]만 생각해 봐도 그렇다. 이런 공간의 기저를 찾기란… 시도하지 않는 것을 권장한다. 다만 선택공리가 있으면 존재성은 보장할 수 있다.
대학생들이 들어볼 수 있는 가장 유명하고 기초적인 기저는 바로 삼각함수이다. Cos 파와 Sin 파는 서로 직교성을 지니는데 이 개념을 이용해 두 함수로 다른 파동을 표현할 수가 있다. 그게 바로 푸리에 변환.
위상수학에서
각주
- ↑ 직교라는 개념이 나오려면 내적이 주어져 있어야 하고, 내적공간에서도 모든 기저가 직교기저일 이유는 없다.