극한 편집하기

[[아르키메데스]]의 [[원 (도형)|원]]의 넓이를 구하는 방법이나, [[제논의 역설]] 등을 보면 고대 그리스 시대부터 무한이라는 개념은 존재했다는 사실을 알 수 있다. 물론 그 당시에는 이를 수학적으로 엄밀하게 정의할 생각은 하지 않았다. 시간이 흘러 뉴턴이 이 무한이라는 개념을 사용한 극한이라는 개념을 생각하고, 극한을 사용해 [[미적분학]]의 기초를 만든다. 뉴턴을 비롯한 다른 학자들은 극한값을 구하는 것에만 치중하였지, 극한에 대한 엄밀한 성질은 생각하지 않았다. 그래서인지 <math>\lim</math>와 <math>\int</math>를 교환을 하는 등, 현대의 수학에서는 (일반적으로) 틀린 성질들을 사용하였다. {{ㅊ|수학자들이 물리학자들을 까는 이유}}<ref>참고로 극한과 적분을 교환하기 위해서는 uniform convergence가 필요하다.</ref> [[푸리에]]는 푸리에 급수의 균등수렴성을 증명하지 못하였지만 그대로 식을 사용하였고, [[칸토어]]는 이를 연구하다가 [[소박한 집합론]]을 만들었다. {{ㅊ|...?}} 이후에 모든 점에서 불연속인 [[디리클레 함수]], 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분이 불가능한 [[바이어슈트라우스 함수]] 등의 극한의 직관적인 이해만으로는 제대로 설명할 수 없는 문제점들이 발견되었고, 이에 따라 수학적으로 엄밀한 극한의 정의가 필요하게 되었다. 엄밀한 극한의 정의는 [[볼차노]]에 의해 기초가 다져진 뒤, [[코시]]와 [[바이어슈트라스]]에 의해 완성되었다. 이 정의가 바로 그 유명한 <math>\varepsilon\text{-}\delta</math> 논법.

{{참고|수열의 극한}}

{{참고|함수의 극한}}

적절한 조건 하에서 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꿀 수 있어, 계산을 편하게 할 수 있다. 예를 들어, <math>\displaystyle \lim_{x \to 0} x</math>를 구할 때{{ㅊ|0이잖아}} '''수렴성이 가정'''된다면 <math>\displaystyle x = \frac{1}{n} \quad (n \in \mathbb N)</math>으로 바꾸어 <math>\displaystyle \lim_{x \to 0} x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0</math> 등으로 구할 수 있다는 것이다.

{{참고|극한 (범주론)}}

범주론에서, [[극한 (범주론)|극한]]은 (category의 object들의) [[곱 (범주론)|곱]], [[당김 (범주론)|당김]](pullback), [[역극한]](inverse limit) 등의 공통적인 [[보편 성질]](universal property)을 말하기 위해 만들어진 개념이다. 물론, 범주론적 극한은 위의 모든 극한을 '''모두 포함한다.''' 즉, 위상적인 극한은 범주론적 극한의 특수한 경우이다.