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{{ | {{학술}} | ||
極限. Limit | 極限. Limit | ||
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== 역사 == | == 역사 == | ||
[[아르키메데스]]의 [[원 (도형)|원]]의 넓이를 구하는 방법이나, [[제논의 역설]] 등을 보면 고대 그리스 시대부터 무한이라는 개념은 존재했다는 사실을 알 수 있다. 물론 그 당시에는 이를 수학적으로 엄밀하게 정의할 생각은 하지 않았다. 시간이 흘러 뉴턴이 이 무한이라는 개념을 사용한 극한이라는 개념을 생각하고, 극한을 사용해 [[미적분학]]의 기초를 만든다. 뉴턴을 비롯한 다른 학자들은 극한값을 구하는 것에만 치중하였지, 극한에 대한 엄밀한 성질은 생각하지 않았다. 그래서인지 <math>\lim</math>와 <math>\int</math>를 교환을 하는 등, 현대의 수학에서는 (일반적으로) 틀린 성질들을 사용하였다. {{ㅊ|수학자들이 물리학자들을 까는 이유}}<ref>참고로 극한과 적분을 교환하기 위해서는 uniform convergence가 필요하다.</ref> [[푸리에]]는 푸리에 급수의 균등수렴성을 증명하지 못하였지만 그대로 식을 사용하였고, [[칸토어]]는 이를 연구하다가 [[소박한 집합론]]을 만들었다. {{ㅊ|...?}} 이후에 모든 점에서 불연속인 [[ | [[아르키메데스]]의 [[원 (도형)|원]]의 넓이를 구하는 방법이나, [[제논의 역설]] 등을 보면 고대 그리스 시대부터 무한이라는 개념은 존재했다는 사실을 알 수 있다. 물론 그 당시에는 이를 수학적으로 엄밀하게 정의할 생각은 하지 않았다. 시간이 흘러 뉴턴이 이 무한이라는 개념을 사용한 극한이라는 개념을 생각하고, 극한을 사용해 [[미적분학]]의 기초를 만든다. 뉴턴을 비롯한 다른 학자들은 극한값을 구하는 것에만 치중하였지, 극한에 대한 엄밀한 성질은 생각하지 않았다. 그래서인지 <math>\lim</math>와 <math>\int</math>를 교환을 하는 등, 현대의 수학에서는 (일반적으로) 틀린 성질들을 사용하였다. {{ㅊ|수학자들이 물리학자들을 까는 이유}}<ref>참고로 극한과 적분을 교환하기 위해서는 uniform convergence가 필요하다.</ref> [[푸리에]]는 푸리에 급수의 균등수렴성을 증명하지 못하였지만 그대로 식을 사용하였고, [[칸토어]]는 이를 연구하다가 [[소박한 집합론]]을 만들었다. {{ㅊ|...?}} 이후에 모든 점에서 불연속인 [[디레클레 함수]], 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분이 불가능한 [[바이어슈트라우스 함수]] 등의 극한의 직관적인 이해만으로는 제대로 설명할 수 없는 문제점들이 발견되었고, 이에 따라 수학적으로 엄밀한 극한의 정의가 필요하게 되었다. 엄밀한 극한의 정의는 [[볼차노]]에 의해 기초가 다져진 뒤, [[코시]]와 [[바이어슈트라스]]에 의해 완성되었다. 이 정의가 바로 그 유명한 <math>\varepsilon\text{-}\delta</math> 논법. | ||
== 수열의 극한 == | == 수열의 극한 == | ||
{{ | {{참조|수열의 극한}} | ||
수열의 극한은 엡실론-델타와는 살짝 다른 <math>\varepsilon\text{-}N</math> 논법을 사용한다. 물론 기본적인 골자는 같다. | 수열의 극한은 엡실론-델타와는 살짝 다른 <math>\varepsilon\text{-}N</math> 논법을 사용한다. 물론 기본적인 골자는 같다. | ||
== 함수의 극한 == | == 함수의 극한 == | ||
{{ | {{참조|함수의 극한}} | ||
엡실론-델타의 천국. 물론 현대에는 다른 극한의 정의도 존재하지만 엡실론-델타 논법에 비하면 많이 어렵다. 수학적으로 제대로 배우기 위해서는 [[수열의 극한]]을 먼저 알아야 하는데, 이는 함수의 극한을 수열의 극한으로 바꾸어 주는 정리가 있기 때문이다. | |||
== 범주론적인 극한 == | == 범주론적인 극한 == | ||
{{ | {{참조|극한 (범주론)}} | ||
범주론에서, [[극한 (범주론)|극한]]은 (category의 object들의) [[곱 (범주론)|곱]], [[당김 (범주론)|당김]](pullback), [[역극한]](inverse limit) 등의 공통적인 [[ | 범주론에서, [[극한 (범주론)|극한]]은 (category의 object들의) [[곱 (범주론)|곱]], [[당김 (범주론)|당김]](pullback), [[역극한]](inverse limit) 등의 공통적인 [[universal property]]를 말하기 위해 만들어진 개념이다. 왜 이름이 limit인지는 정의를 보면 쉽게 알 수 있다. (<math>\varepsilon\text{-}\delta</math> 논법과 비슷한 면이 있는 것 같기도 하다.) | ||
극한의 정의는 어떤 뿔(cone)인데, 임의의 뿔 <math>(N, \psi)</math>와 어떤 뿔 <math>(L, \varphi)</math>에 대하여 둘의 object 사이에 <math>N, L, F(X)</math> (X는 주어진 category의 임의의 object)로 이루어진 diagram을 commute하는 사상 <math>u: \; N \to L</math>이 유일하면, 그때의 뿔 <math>(L, \varphi)</math>를 diagram(covariant functor) <math>F</math>의 '''극한'''이라고 한다. | |||
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<math>\require{AMSmath} | |||
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\newcommand\mapupleft[2][]{\vcenter{\kern3pt\raise.5pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-4pt\nwarrow\kern-.64em\lower.63em{\diagdown}\raise-.5pt\kern-2pt\llap{\raise1.5pt{\scriptstyle#2 \kern4pt}}}} | |||
\newcommand\mapupright[2][]{\vcenter{\kern6pt\rlap{\lower6pt{\scriptstyle#1}}\kern-18pt\kern1em\nearrow\kern-1.9em\lower.63em{\diagup}\llap{\raise2pt{\scriptstyle #2\kern2pt}}}} | |||
< | \begin{array}{ccc} | ||
&N&\\&\mapdownleft{\psi _X } \quad \quad \mapdown{\exists ! u} \quad \mapdownright{ \psi _Y } & \\ | |||
F(X) &\mapleft{\varphi_X} \quad L\quad \mapright{\varphi_Y} & F(Y) \\ | |||
&\underset{F(f)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!- \!\!\!\mapright{ }} & | |||
\end{array} | |||
</math> | |||
</div> | </div> | ||
== 관련 항목 == | == 관련 항목 == |