정의
군 (group)이란 다음 세 가지 공리를 만족하는 set G와 operator ×:G×G→G의 쌍을 말한다.
- 결합법칙을 만족한다. 그러니까 모든 x,y,z∈G에 대해서 (x×y)×z=x×(y×z)가 된다.
- 항등원이 존재한다. 그러니까 적당한 e∈G가 있어서 모든 x∈G에 대해서 e×x=x×e=x를 만족한다. 이럴 경우 항등원은 언제나 유일해야 함을 쉽게 증명할 수 있다.
- 역원이 존재한다. 그러니까 모든 x∈G에 대해서 적당한 y∈G가 있어서 xy=yx=e가 된다. 물론 여기에서 e는 G의 항등원이다. 이럴 때 각 x에 대해서 y 역시 유일하다.
보통 group에서 두 원소의 연산으로 xy로 줄여 쓰며, abelian group같은 경우는 x+y같이 덧셈으로도 자주 쓴다.
G의 subset H가 G의 subgroup이라는 것은 H가 G의 연산구조를 그대로 가지면서 닫혀 있을 때를 말한다. 그러니까 x,y∈H라면 xy∈H고 x'가 x의 역원이고 x∈G라면 x'∈G인 것을 말한다.
G의 subgroup H가 normal subgroup이라는 것은 모든 x∈G에 대해서 xH=Hx일 때를 말한다. 그러니까, left coset과 right coset이 그냥 같다. H가 G의 normal subgroup이라면 G/H라는 quotient group을 정의할 수 있는데, G/H={xH:x∈H} 라고 정의한다. 이 때 (xH)(yH)=(xy)H라는 방식으로 G/H 안의 연산을 정의한다.
종류
- G가 abelian이라는 것은 모든 x,y∈G에 대해서 xy=yx가 성립하는 group을 말한다.
- G가 cyclic이라는 것은 적당한 a∈G가 있어서 모든 x∈G는 적당한 정수 n이 있어서 x=aⁿ꼴로 표현될 때를 말한다. 가장 간단한 형태의 group이다.
- G가 solvable이라는 것은 적당한 G의 subgroup들 {e}=H1⊆H2⊆...⊆Hn=G가 있어서 Hi는 H(i+1)의 normal subgroup이고 H(i+1)/Hi가 모두 abelian인 것이다.
- G가 simple group이라는 것은 G의 normal subgroup이 G와 {e}밖에 없는 것이다.
존재 이유
어떤 object 안의 흐름을 group을 통해서 관찰한다.
Group의 기본 철학은 이것이며, group이라고 이름 붙히는 것들은 대부분 이런 철학을 가진다. 이게 무슨 소리냐면 1,2,3,4,5 이 숫자 다섯개를 뒤섞는 방법. 예를 들어서 1,2,3,4,5를 2,1,3,5,4로 섞는 것들을 모은 집합을 S5라고 하자. 그렇다면 이는 group을 이룬다.1,2,3,4,5를 2,1,3,4,5로 섞는 방법을 x, 1,2,3,4,5를 3,2,4,5,1로 섞는 방법을 y라고 한다면 xy는 3,2,4,5,1에서 앞의 두 개를 바꾼 1,2,3,4,5를 2,3,4,5,1로 섞는 방법이라고 하는 것이다. 좀 더 정확히는 S5는 S={1,2,3,4,5}일 때 S에서 S로 가는 모든 bijection들의 집합이고 연산은 합성함수로 주어진다.
그렇다면 S5의 원소 중 하나인 1,2,3,4,5를 2,1,3,4,5로 섞는 방법으로 (이 방법을 x라고 하자.) 1,1,2,2,2를 섞는다고 해보자. 그렇다면 이는 아무런 변화도 없을 것이다. 앞의 두 개를 바꾸는 것인데 앞의 두 개는 모두 1이니 말이다. 좀 더 나아가서, x라는 방법으로 다섯개의 숫자를 섞는데 변화가 없는 것과 처음 두 개의 숫자가 같다는 것은 동치임을 증명할 수 있다. 그렇다면 우리는 어떤 다섯 개의 숫자가 있을 때 직접 첫 두 개의 숫자를 확인하는 것이 아니라 그 다섯 개의 숫자를 x라는 방법으로 섞어 봐서 변화가 없는지 아닌지로 첫 두 개의 숫자가 같은지 아닌지를 확인할 수 있다. subgroup의 관점에서 본다면 1,2,3,4,5를 1,2,3,4,5로 섞는. 그러니까 아예 안 섞는 방법을 e라고 쓴다면 {e,x}를 S5의 subgroup이 되고 첫 두 숫자가 같은지는 {e,x} 라는 subgroup의 원소라는 방법으로 섞었을 때 변화가 없는지 확인하는 것이다. 그러니까 숫자 다섯 개가 어떻게 쓰여 있는 지를 S5를 통해서 보는 것이다.
이 방법은 얼핏 보면 이상하고 오히려 더 번거롭게 확인하는 방법으로 보이지만, 이것은 갈루아가 만든 Galois theory의 기본 아이디어다. 갈루아는 어떤 숫자가 어떤 방정식의 계수들의 합, 차, 곱, 나눗셈, n제곱근으로 나타내지는지를 보기 위해서 그 방정식의 해들을 섞었고, 그 섞는 방법들을 모은 집합을 group이라고 이름지었다. group으로 보면 group의 성질과 group이 그 숫자를 어떻게 바꾸냐에 따라서 따라서 그 숫자의 성질을 알아낼 수 있고, group의 성질은 쉽게 알아낼 수 있다.
Group의 성질을 알아내기 힘들 때도 있는데, 그 때 사용할 수 있는 것은 군표현론 (representation theory)다. group보단 비교적 쉬워 보이는 vector space를 대표로 하는 선형대수학을 사용하여 group의 성질을 알아낼 수 있다. Burnside's theorem이 대표적인데, 원소의 갯수를 소인수분해 했을 때 소수가 두 개만 나온다면 solvable group이라는 간단한 정리지만 representation theory를 사용하지 않는다면 증명이 많이 어려워진다. 정수론에선 cyclic extension들의 Galois group이나 local field에서 maximal unramified extension의 Galois group은 비교적 다루기 쉽지만 absolute Galois group은 바로 다루기가 매우 어렵다. 그렇기 때문에 Galois representation이라는 것을 사용한다. 근데 그것도 안 되어서 다 보는 것은 너무 어렵다고 징징대면서 좀 더 정수론적인 것만 보겠다고 Weil group을 만들고, 그것도 모잘라서 representation의 정수론적 정보만 보겠다고 representation 위에다가 l-adic cohomology도 끼얹는데 안 되는 걸 보면 이건 그냥 안 된다. 정수론은 그냥 포기가 답인 듯...
그 외
- G의 원소의 갯수가 finite일 때 G를 finite group이라고 한다. 그렇다면 G가 finite group이고 H가 G의 subgroup이라면 H의 원소의 갯수는 G의 원소의 갯수를 나눈다.
- 모든 finite abelian group은 깔끔하게 분류되어 있다. cyclic group들의 direct summand. 그리고 모든 cyclic group들은 Z/nZ꼴이거나 정수 집합이다.
- 중국인의 나머지 정리는 m과 n이 서로소면 Z/mnZ=Z/mZ×Z/nZ라는 꼴로 깔끔하게 표현할 수 있다. 이는 ring theory에서 좀 더 일반화되고 쓰기 편한 형태로 바뀐다.
- 연산을 xy와 같이 곱셈이 아니라 x+y같이 덧셈으로 쓰게 된다면 이는 위에서 설명한 의미 말고도 다른 viewpoint를 가지게 되는데, 공간 그 자체라는 느낌이 강해진다.
- G가 finite simple group일 때도 abelian group일 때와 마친가지로 모두 분류되어 있다. 하지만 증명이 엽기적...인데, 증명 논문이 15000쪽이나 된다.
finite를 countable로 바꾸고 싶어진다. 참고로 countable로 바꾼다면 abelian group도 모두 분류가 안 되어 있다.세계에서 가장 긴 수학 논문. 그리고 수학자들이 말하기를 다음으로 할 것은 이 증명 길이를 5000쪽...으로 줄이는 것. 참고로 finite simple group을 분류한 것들 중에서 고등학교 수학 교과서에서 많이 나오는 이임학 교수님의 이름이 붙은 Lee group이 있다. - G가 finite group이고 원소의 갯수가 홀수개면 solvable이다. Feit-Thompson theorem이라고 불린다. 모든 finite simple group들을 모두 분류하는데 Feit-Thompson theorem이 필수적으로 쓰인다.