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* 임의의 <math>g_1, g_2\in G</math>, <math>x\in X</math>에 대해 <math>x\cdot (g_1g_2) = (x\cdot g_1)\cdot g_2</math> | * 임의의 <math>g_1, g_2\in G</math>, <math>x\in X</math>에 대해 <math>x\cdot (g_1g_2) = (x\cdot g_1)\cdot g_2</math> | ||
이면 <math>\cdot</math>을 '''오른쪽 군의 작용(right group action)'''이라고 한다. | 이면 <math>\cdot</math>을 '''오른쪽 군의 작용(right group action)'''이라고 한다. | ||
== 예시 == | |||
* 군 <math>G</math>가 자신에게 작용할 때, <math>g\cdot x=gxg^{-1}</math>은 군의 작용이다. | |||
== 종류 == | |||
* 함수 <math>x\mapsto g\cdot x</math>가 <math>g=e_G</math>일 때만 항등함수이면 군의 작용이 충실(faithful) 또는 효과적(effective)이라고 한다. | |||
* 임의의 <math>x_1,x_2\in X</math>에 대해 <math>g\cdot x_1=x_2</math>인 <math>g\in G</math>가 존재하면 군의 작용이 추이적(transitive)이라고 한다. | |||
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>g\cdot x=x</math>이면 <math>g=e_G</math>일 때 군의 작용이 자유(free)라고 한다. | |||
== 궤도와 안정자 == | |||
군 <math>G</math>가 집합 <math>X</math>에 작용한다고 하자. 이때 | |||
: <math>O_x=\{g\cdot x:g\in G\}</math> | |||
를 궤도(orbit)라고 하고 | |||
: <math>G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}</math> | |||
를 안정자(stabilizer)라고 한다. 안정자는 군이다. | |||
임의의 $x\in X$에 대해 | |||
: <math>|O_x||G_x|=|G|</math> | |||
이 성립한다. 이를 궤도-안정자 정리(orbit-stabilizer theorem)라고 한다. | |||
== 같이 보기 == | |||
* [[번사이드 보조정리]] | |||
[[분류:군론]] | [[분류:군론]] |
2016년 10월 1일 (토) 15:01 판
정의
군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : G\times X \to X }[/math]에 대해
- 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ e_G \cdot x = x }[/math]
- 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (g_1g_2)\cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 (왼쪽) 군의 작용((left) group action)이라고 하고, [math]\displaystyle{ G }[/math]가 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 작용한다고 한다. 마찬가지로 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : X\times G \to X }[/math]에 대해
- 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot e_G = x }[/math]
- 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot (g_1g_2) = (x\cdot g_1)\cdot g_2 }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 오른쪽 군의 작용(right group action)이라고 한다.
예시
- 군 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 자신에게 작용할 때, [math]\displaystyle{ g\cdot x=gxg^{-1} }[/math]은 군의 작용이다.
종류
- 함수 [math]\displaystyle{ x\mapsto g\cdot x }[/math]가 [math]\displaystyle{ g=e_G }[/math]일 때만 항등함수이면 군의 작용이 충실(faithful) 또는 효과적(effective)이라고 한다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\cdot x_1=x_2 }[/math]인 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]가 존재하면 군의 작용이 추이적(transitive)이라고 한다.
- 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g\cdot x=x }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g=e_G }[/math]일 때 군의 작용이 자유(free)라고 한다.
궤도와 안정자
군 [math]\displaystyle{ G }[/math]가 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 작용한다고 하자. 이때
- [math]\displaystyle{ O_x=\{g\cdot x:g\in G\} }[/math]
를 궤도(orbit)라고 하고
- [math]\displaystyle{ G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\} }[/math]
를 안정자(stabilizer)라고 한다. 안정자는 군이다.
임의의 $x\in X$에 대해
- [math]\displaystyle{ |O_x||G_x|=|G| }[/math]
이 성립한다. 이를 궤도-안정자 정리(orbit-stabilizer theorem)라고 한다.