교환법칙 편집하기



'''교환법칙'''(commutative law)은 두 대상을 연산할 때 연산하는 순서가 관계없음을 말한다. 즉, a+b=b+a인 연산 +은 교환법칙을 만족하며, 교환법칙을 만족하는 연산이나 대수적 구조를 '''가환'''(commutative)이라 한다. 가환인 연산은 보통 덧셈(+)으로 표기한다<ref>보통 덧셈은 [[결합법칙]]도 만족하는 것으로 본다. 또한 곱셈 중 몇몇은 가환이므로 곱셈 기호 ·나 붙여쓰기(juxtaposition), 또는 합성 기호 <math>\circ</math>를 쓰기도 한다.</ref>. 가환이 아니면 '''가환이 아니다'''(noncommutative)라고 한다. 또한 두 대상을 교환하였을 때 부호가 바뀐다면 '''비가환'''(anticommutative)이라 한다.

== 정의 ==
가환이란 다음의 상황 중 하나를 말하는데, 공통적으로 어느 두 대상을 교환해도 그대로인 것을 말한다:
* 어떤 이항연산 <math>+</math>가 [[집합]] <math>S</math>의 임의의 원소 <math>a, b</math>에 대하여 <math>a+b = b+a</math>이면 <math>+</math>는 <math>S</math>에서 가환이다.
* <math>x+y=y+x</math>이면 <math>x</math>는 <math>y</math>와 <math>+</math>에서 가환이다.
* 특정한 연산이 가환인 대수적 구조를 가환이라고 한다. 예를 들면, 연산이 가환인 [[군 (수학)|군]]을 [[가환군]](또는 아벨군), 두 연산이 모두 가환인 [[환 (수학)|환]]을 [[가환환]]이라 한다.
* 이변수함수 <math>f:A^2\to B</math>이 <math>\forall x,y\in A[f(x,y)=f(y,x)]</math>이면 <math>f</math>는 가환이다.

비가환이란 위와 비슷하게, 두 대상을 바꾸었을 때 부호만 바뀌는 상황을 이야기한다. 비가환인 연산을 조금 더 형식적으로 정의하자면, 집합 <math>A</math>와 <math> G</math>, 연산 <math>\circ: A^n \to G</math>를 생각하자. <math>A^n</math>의 임의의 원소 <math>\mathbf x = (x_1, \cdots, x_n)</math>에 대하여
:<math>x_1 \circ \cdots \circ x_n = \operatorname{sgn}(\sigma) [x_{\sigma(1)}\circ\cdots\circ x_{\sigma(n)}]</math>
(<math>\sigma</math>는 <math>\{1, \cdots, n\}</math>에서 정의된 임의의 치환)이면 연산 <math>\circ</math>를 비가환이라 한다. 즉 짝수-번 교환되었으면(짝치환) 양의 부호를, 홀수-번 교환되었으면(홀치환) 음의 부호를 갖는 연산을 말한다.

== 예시 ==
=== 가환인 연산 ===
* [[복소수]] 집합에서 정의된 [[덧셈]]과 [[곱셈]]은 가환이다.
* [[벡터공간]]의 덧셈 연산은 가환이다.
* <math>\mathbb{R}</math>위에서의 [[내적공간]]의 [[내적]] 연산은 가환이다.
* [[거리공간]]의 [[거리함수]]는 두 점에 대하여 가환이다.
* 몇몇 [[논리 연산자]]들은 가환이다. 예를 들어,
*: OR 연산자: <math>\phi \vee \psi \Leftrightarrow \psi \vee \phi,</math>
*: AND 연산자: <math>\phi \wedge \psi \Leftrightarrow \psi \wedge \phi,</math>
*: XOR 연산자(배타적 논리합): <math>\phi \oplus \psi \Leftrightarrow \psi \oplus \phi,</math>
*: 함의 (충분조건, implies, <math>\rightarrow</math>): <math>(p \rightarrow (q\rightarrow r))\Leftrightarrow (q\rightarrow(p\rightarrow r)),</math>
*: 동치 (필요충분조건, equivalence): <math>\phi\leftrightarrow \psi \Leftrightarrow \psi\leftrightarrow \phi.</math>

=== 비가환인 연산 ===
* [[함수]]의 합성, [[행렬]]의 곱셈은 비가환이다.
* [[복소수]] 집합에서 정의된 [[뺄셈]]은 비가환이다.
* 3차원 [[유클리드 공간|(유클리드) 공간]]에서 정의된 [[외적]]은 비가환이다.
* [[리 대수]]와 [[리 환]]에서 정의된 리 브래킷은 비가환이다.

==참고==
* [[가환대수학]]
* [[대칭률]]
* [[동치관계]]
* [[결합법칙]]
* [[분배법칙]]

{{각주}}

[[분류:대수학]]
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	'''교환법칙'''(commutative law)은 두 대상을 연산할 때 연산하는 순서가 관계없음을 말한다. 즉, a+b=b+a인 연산 +은 교환법칙을 만족하며, 교환법칙을 만족하는 연산이나 대수적 구조를 '''가환'''(commutative)이라 한다. 가환인 연산은 보통 덧셈(+)으로 표기한다<ref>보통 덧셈은 [[결합법칙]]도 만족하는 것으로 본다.</ref>. 가환이 아니면 '''가환이 아니다'''(noncommutative)라고 한다. 또한 두 대상을 교환하였을 때 부호가 바뀐다면 '''비가환'''(anticommutative)이라 한다.		'''교환법칙'''(commutative law)은 두 대상을 연산할 때 연산하는 순서가 관계없음을 말한다. 즉, a+b=b+a인 연산 +은 교환법칙을 만족하며, 교환법칙을 만족하는 연산이나 대수적 구조를 '''가환'''(commutative)이라 한다. 가환인 연산은 보통 덧셈(+)으로 표기한다<ref>보통 덧셈은 [[결합법칙]]도 만족하는 것으로 본다. 또한 곱셈 중 몇몇은 가환이므로 곱셈 기호 ·나 붙여쓰기(juxtaposition), 또는 합성 기호 <math>\circ</math>를 쓰기도 한다.</ref>. 가환이 아니면 '''가환이 아니다'''(noncommutative)라고 한다. 또한 두 대상을 교환하였을 때 부호가 바뀐다면 '''비가환'''(anticommutative)이라 한다.

	== 정의 ==		== 정의 ==