고유값과 고유벡터

정의

체 F 위의 벡터공간 V가 주어지고 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. 선형연산자 [math]\displaystyle{ L:V\to V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v} }[/math]

인 스칼라 λ가 존재하면 [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]를 L의 고유벡터(Eigenvector)라고 하고, λ를 고유값(Eigenvalue)이라고 한다.

선형연산자 L을 나타내는 행렬을 A라고 하자. 그러면 방정식은

[math]\displaystyle{ A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} }[/math]

가 된다. 즉,

[math]\displaystyle{ (A-\lambda I)\mathbf{v}=O }[/math]

이고 이 방정식이 영이 아닌 근을 가지므로

[math]\displaystyle{ \det(A-\lambda I)=0 }[/math]

이다.

x를 체 F의 원소라고 하자. [math]\displaystyle{ A-xI }[/math]를 A의 특성행렬(characteristic matrix), [math]\displaystyle{ \det(A-xI) }[/math]를 A의 특성다항식(characteristic polynomial), 방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]을 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다. 특성방정식의 근의 집합은 A의 스펙트럼(spectrum)이라 한다.

예시

선형연산자 L을 나타내는 행렬 A가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 8 & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} }[/math]

그러면 A의 특성다항식은

[math]\displaystyle{ \det(A-xI)=\begin{vmatrix} 8-x & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2-x & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8-x & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2-x \end{vmatrix}=x^4-8x^2+16 }[/math]

이므로 특성방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]를 만족하는 x는 [math]\displaystyle{ x=\pm 2 }[/math]이다. 따라서 A의 고유값은 2와 -2이다. 한편

[math]\displaystyle{ A-2I=\begin{bmatrix} 6 & 5 & 6 & 0\\ 0 & -4 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -10 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A+2I=\begin{bmatrix} 10 & 5 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -6 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ A-2I,A+2I }[/math]는 기본행연산(elementary row operation)을 거쳐 기약행사다리꼴(reduced row echelon form)로 만들면 각각

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 12\\ 0 & 0 & 1 & -20\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }[/math]

이 되므로 각 방정식의 해, 즉 고유벡터는 [math]\displaystyle{ (A-2I)\mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]의 경우

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=c\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ (A+2I)\mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]의 경우

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}a-12b\\ a\\ 20b\\ b \end{bmatrix} }[/math]

이다. 이때 고유벡터의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ c\ne 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ a\ne 0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ b\ne 0 }[/math]이다.

고유공간

체 F 위의 벡터공간 V에서 정의된 선형연산자 L의 고윳값 λ가 주어졌을 때, 모든 고유벡터와 영벡터의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbf{V}_\lambda }[/math]는 벡터공간을 이룬다. 왜냐 하면 임의의 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in\mathbf{V}_\lambda }[/math]와 [math]\displaystyle{ c\in F }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)=\lambda\mathbf{v}_1+\lambda\mathbf{v}_2=\lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)=c\lambda \mathbf{v}_1=\lambda(c\mathbf{v}_1) }[/math]

이므로 V의 부분공간(subspace)이기 때문이다. 이 벡터공간을 고윳값 λ이 연관된 L의 고유공간(eigenspace)이라고 한다. [math]\displaystyle{ \mathbf{V}_\lambda }[/math]의 차원(dimension)은 λ의 기하중복도(geometric multiplicity)라고 한다.

[math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r }[/math]가 선형연산자 L의 서로 다른 고유값이고, [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r }[/math]가 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r }[/math]와 연관된 고유벡터라고 하자. 이때 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r }[/math]는 선형독립이다.

[math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1\ne \mathbf{0} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1\} }[/math]은 선형독립인 집합이다. 이제 [math]\displaystyle{ 1\le k\le r }[/math]인 정수 k에 대해 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\} }[/math]가 선형독립이라고 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ k=r }[/math]이면 증명이 끝나므로 [math]\displaystyle{ k\lt r }[/math]라고 가정하자. 방정식

[math]\displaystyle{ c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

에서 L에 의한 연산을 거치면

[math]\displaystyle{ c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\lambda_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

이고 처음 식에 [math]\displaystyle{ \lambda_{k+1} }[/math]을 곱하면

[math]\displaystyle{ c_1\lambda_{k+1}\mathbf{v}_1+c_2\lambda_{k+1}\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\lambda_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ c_1(\lambda_1-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_1+c_2(\lambda_2-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_2+\cdots+c_k(\lambda_k-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_k=0 }[/math]

이고 (귀납법) 가정에 의해 각 고유값이 다르고 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\} }[/math]이 선형독립이므로

[math]\displaystyle{ c_1=c_2=\cdots=c_k=0 }[/math]

이다. 따라서

[math]\displaystyle{ c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_{k+1}\ne\mathbf{0} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ c_{k+1}=0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_{k+1}\} }[/math]은 선형독립이다. 결국 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다.