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== 지름 == | == 지름 == | ||
{{ | {{참조|지름}} | ||
<math>(X,d)</math>가 거리공간이고 <math>A</math>를 <math>X</math>의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 만약 <math>\{d(x,y):x,y\in A\}</math>가 상계를 가지면 <math>A</math>를 유계집합(bounded set)이라고 하며 | <math>(X,d)</math>가 거리공간이고 <math>A</math>를 <math>X</math>의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 만약 <math>\{d(x,y):x,y\in A\}</math>가 상계를 가지면 <math>A</math>를 유계집합(bounded set)이라고 하며 | ||
: <math>\sup\{d(x,y):x,y\in A\}</math> | : <math>\sup\{d(x,y):x,y\in A\}</math> | ||
67번째 줄: | 67번째 줄: | ||
== 수열의 극한 == | == 수열의 극한 == | ||
{{ | {{참조|수열의 극한}} | ||
<math>(X,d)</math>가 거리공간이고 <math>(x_n)</math>을 ''X''의 점열이라고 하자. 임의의 실수 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 적당한 <math>N\in \mathbb{N}</math>이 존재하여 모든 <math>n > N \left(n\in\mathbb{N}\right)</math>에 대해 <math>d \left( x_n , x \right) < \varepsilon</math>일 때, <math>(x_n)</math>은 ''x''에 수렴한다고 한다. | <math>(X,d)</math>가 거리공간이고 <math>(x_n)</math>을 ''X''의 점열이라고 하자. 임의의 실수 <math>\varepsilon > 0</math>에 대해 적당한 <math>N\in \mathbb{N}</math>이 존재하여 모든 <math>n > N \left(n\in\mathbb{N}\right)</math>에 대해 <math>d \left( x_n , x \right) < \varepsilon</math>일 때, <math>(x_n)</math>은 ''x''에 수렴한다고 한다. | ||
75번째 줄: | 75번째 줄: | ||
== 연속함수 == | == 연속함수 == | ||
{{ | {{참조|연속함수}} | ||
<math>f:(X,d)\to (Y,d')</math>를 거리공간 <math>(X,d)</math>에서 <math>(Y,d')</math>로의 함수이고, <math>a\in X</math>라고 하자. 이때 임의의 <math>\varepsilon >0</math>에 대해 <math>\delta >0</math>이 존재해 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>d(x,a)<\delta</math>이면 <math>d(f(x),f(a))<\varepsilon</math>일 때, <math>f</math>는 <math>a</math>에서 연속이라고 한다. | <math>f:(X,d)\to (Y,d')</math>를 거리공간 <math>(X,d)</math>에서 <math>(Y,d')</math>로의 함수이고, <math>a\in X</math>라고 하자. 이때 임의의 <math>\varepsilon >0</math>에 대해 <math>\delta >0</math>이 존재해 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>d(x,a)<\delta</math>이면 <math>d(f(x),f(a))<\varepsilon</math>일 때, <math>f</math>는 <math>a</math>에서 연속이라고 한다. | ||
== 동등한 거리공간 == | == 동등한 거리공간 == | ||
=== 거리동형 === | === 거리동형 === | ||
{{ | {{참조|등거리사상}} | ||
거리공간 <math>(X,d), (Y,d')</math>에 대해 [[일대일 대응]] <math>f:X\to Y</math>가 존재해 임의의 <math>a,b\in X</math>에 대해 | 거리공간 <math>(X,d), (Y,d')</math>에 대해 [[일대일 대응]] <math>f:X\to Y</math>가 존재해 임의의 <math>a,b\in X</math>에 대해 | ||
: <math>d(a,b)=d'(f(a),f(b))</math> | : <math>d(a,b)=d'(f(a),f(b))</math> | ||
86번째 줄: | 86번째 줄: | ||
=== 위상동형 === | === 위상동형 === | ||
{{ | {{참조|위상동형사상}} | ||
거리공간 <math>(X,d), (Y,d')</math>에 대해 [[일대일 대응]] <math>f:X\to Y</math>가 존재해 <math>f</math>와 그 [[역함수]] <math>f^{-1}</math>이 [[연속함수|연속]]이면 <math>X,Y</math>는 위상적으로 동치(topologically equivalent), 또는 위상동형(homeomorphic)이라고 하고, f는 위상동형사상(homeomorphism)이라고 한다. | 거리공간 <math>(X,d), (Y,d')</math>에 대해 [[일대일 대응]] <math>f:X\to Y</math>가 존재해 <math>f</math>와 그 [[역함수]] <math>f^{-1}</math>이 [[연속함수|연속]]이면 <math>X,Y</math>는 위상적으로 동치(topologically equivalent), 또는 위상동형(homeomorphic)이라고 하고, f는 위상동형사상(homeomorphism)이라고 한다. | ||
== 완비거리공간 == | == 완비거리공간 == | ||
{{ | {{참조|완비거리공간}} | ||
거리공간 <math>(X,d)</math>에서 <math>X</math>의 모든 [[코시수열]]이 <math>X</math>의 점으로 수렴하면 <math>(X,d)</math>를 완비거리공간(complete metric space)이라고 한다. | 거리공간 <math>(X,d)</math>에서 <math>X</math>의 모든 [[코시수열]]이 <math>X</math>의 점으로 수렴하면 <math>(X,d)</math>를 완비거리공간(complete metric space)이라고 한다. | ||