틀:학문 관련 정보 행렬(Matrix)
정의
수나 식을 직사각형 모양으로 배열한 것. 가로줄을 행(low), 세로줄을 열(column)이라고 한다.
좀 더 수학적으로 정의하면 다음과 같다.
[math]\displaystyle{ F }[/math]가 체이고 모든 [math]\displaystyle{ i=1,2,\cdots,n }[/math]과 [math]\displaystyle{ j=1,2,\cdots,n }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ a_{ij}\in F }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix} }[/math]를 [math]\displaystyle{ F }[/math]위의 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math] 행렬이라고 부른다. [math]\displaystyle{ m=n }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 [math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬이라고 한다.
행렬의 원소를 강조할 때는 [math]\displaystyle{ A=\left(a_{ij}\right) }[/math]로 표기할 수 있다.
구성 성분
[math]\displaystyle{ A=\left(a_{ij}\right) }[/math]에서 [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math]를 행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 [math]\displaystyle{ \left(i,j\right) }[/math]성분이라고 부르고, [math]\displaystyle{ i }[/math]번째 행을 행벡터(row vector) [math]\displaystyle{ \left[A\right] _i }[/math], [math]\displaystyle{ j }[/math]번째 열을 열벡터(column vector) [math]\displaystyle{ \left[A\right] ^j }[/math]라고 한다.
연산
덧셈과 뺄셈
행렬 [math]\displaystyle{ A, B }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math]행렬일 때, 행렬의 덧셈과 뺄셈을 [math]\displaystyle{ A+B=\left(a_{ij}+b_{ij}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ A-B=\left(a_{ij}-b_{ij}\right) }[/math]로 정의한다.
행렬의 덧셈과 뺄셈은 교환, 결합, 분배 법칙이 성립한다.
= 곱셈
행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 행 갯수와 행렬 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 열 갯수가 같을 때, 두 행렬의 곱셈은 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 각 행벡터와 [math]\displaystyle{ B }[/math]의 각 열벡터의 내적을 원소로 가지는 행렬로 정의된다. [math]\displaystyle{ A }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(m\times r\right) }[/math]행렬이고 [math]\displaystyle{ B }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left(r\times n\right) }[/math]행렬일 때, [math]\displaystyle{ AB }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left(m\times n\right) }[/math]행렬이다. [math]\displaystyle{ C=AB }[/math]라고 하면 [math]\displaystyle{ \left(c_{i,j}\right)=\left(\left[A\right] _i\cdot\left[B\right] ^j\right) }[/math]이다. 이 특성 때문에, 행렬의 곱셈은 결합 법칙과 분배법칙만 성립한다.
특수한 행렬
- 영행렬은 모든 원소가 0인 행렬로, 행렬의 덧셈의 항등원이다. [math]\displaystyle{ O }[/math]로 표기한다.
- 단위행렬은 정사각행렬에만 정의되며, 주 대각선이 1이고 나머지는 0인 행렬이다. 따라서, 정사각행렬의 곱셈의 항등원이 된다. [math]\displaystyle{ E }[/math]로 표기한다.
- 역행렬은 정사각행렬에만 적용되며, 정사각행렬의 곱셈의 역원이 된다. 자세한 내용은 역행렬 참고.