정의
군 [math]\displaystyle{ G }[/math]와 집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : G\times X \to X }[/math]에 대해
- 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ e_G \cdot x = x }[/math]
- 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ (g_1g_2)\cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x) }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 (왼쪽) 군의 작용((left) group action)이라고 하고, [math]\displaystyle{ G }[/math]가 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 작용한다고 한다. 마찬가지로 함수 [math]\displaystyle{ \cdot : X\times G \to X }[/math]에 대해
- 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot e_G = x }[/math]
- 임의의 [math]\displaystyle{ g_1, g_2\in G }[/math], [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\cdot (g_1g_2) = (x\cdot g_1)\cdot g_2 }[/math]
이면 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]을 오른쪽 군의 작용(left group action)이라고 한다.